Приложение Б. Основные определения

Амплитудная характеристика (см. Частотная характеристика)

Взаимная ковариационная функция

Взаимной ковариационной функцией двух последовательностей называется среднее за интервал времени значение произведения величин в момент времени в момент времени

Для эргодических процессов величина должна стремиться к бесконечности; на практике всегда конечно.

Ковариационная функция представляет собой частный случай функции при

Гауссов процесс

Гауссовым называется стационарный случайный процессор), значения которого в любой момент времени имеют плотность вероятности

где — истинное среднее значение процесса, истинная дисперсия. Распределение, описываемое приведенной формулой, называется гауссовым.

Гистограмма

Гистограммой называется график, на котором по оси ординат отложено число значений функции попадающих в заданные интервалы, а по оси абсцисс — границы этих интервалов, называемых интервалами группировки.

Дисперсия

Дисперсией функции называется средний за интервал времени квадрат отклонения значений от среднего значения х:

В случае эргодического процесса истинная дисперсия получается переходом к пределу при устремлении к бесконечности. При величина

Импульсная переходная (весовая) функция

Импульсная переходная функция линейной системы с постоянными параметрами называемая также весовой функцией, описывает реакцию системы на единичный импульс (дельта-функцию). Она равна обратному преобразованию Фурье от частотной характеристики системы.

Ковариационная функция

Ковариационной функцией последовательности называется среднее за интервал времени значение произведения величин, принимаемых последовательностью в моменты времени? и

Сдвиг может быть положительным или отрицательным.

Для эргодического процесса должно стремиться к бесконечности; на практике всегда конечно.

Суммарный средний квадрат последовательности оценивается в виде

Когерентный спектр выходного процесса

Когерентный спектр выходного процесса для системы с одним процессом на входе и одним процессом на выходе есть произведение функции когерентности последовательностей на функцию спектральной плотности выходного процесса

Соответствующий спектр шума на выходе равен

Линейная система

Аддитивная и однородная система называется линейной. Пусть входным значениям, отвечают выходные значения, система аддитивна, если входух, отвечает выходу, и однородна, если вход генерирует на выходе значение где с — произвольная постоянная.

Линейчатый спектр

Линейчатым называется спектр, значения которого отличаются от нуля лишь на дискретных частотах, как, например, при представлении функции ее рядом Фурье.

Нелинейная система

Нелинейной называется система, которая не обладает свойствами аддитивности и однородности или хотя бы одним из этих свойств (см. Линейная система).

Нестационарный процесс

Нестационарным называется любой процесс, не обладающий свойством стационарности (см. соответствующее определение). Статистические характеристики такого процесса, определенные усреднением по ансамблю его реализаций, не являются инвариантными по отношению к переносу начала отсчета на временной оси и зависят от времени.

В обшем случае результаты усреднения по любой отдельной реализации процесса не характеризуют свойства ни одной из его реализаций, поскольку информация о зависимости свойств процесса от времени в результате такого усреднения утрачивается.

Нормированная взаимная корреляционная функция

Нормированной взаимной корреляционной функцией двух последовательностей и называется отношение взаимной ковариационной функции к квадратному корню из произведения ковариационных функций последовательностей при нулевом сдвиге

Величина удовлетворяет при всех неравенству —

Нормированная взаимная корреляционная функция и функция обычной когерентности не образуют пару взаимных преобразований Фурье.

Переходный процесс

Переходным называется детермированный или случайный процесс, имеющий конечную продолжительность.

Передаточная функция

Передаточная функция линейной системы с постоянными параметрами есть преобразование Лапласа импульсной переходной функции системы. Значения передаточной функции на мнимой оси определяют частотную характеристику системы (см. соответствующее определение).

Плотность вероятности

Плотность вероятности величины в момент времени задается отношением

где вероятность попадания значениях в интервал шириной с центром в точке х. Иными словами, есть оценка интенсивности изменения вероятности значения функции

В случае стационарного процесса ширину интервала следует устремить к нулю; на практике она всегда конечна. Функция удовлетворяет при всех х условию а площадь под кривой равна единице.

Преобразование Гильберта

Преобразование Гильберта действительной функции заданной на оси — называется вещественная функциях определенная равенством

Таким образом, преобразование Гильберта есть свертка исходной функции с функцией

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье функции называемое также спектром Фурье, есть комплексная функция частоты , определяемая в виде

Предполагается, что функция такова, что существует. Функция времени определяется из в виде

Функции и называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Функция выражается через свои действительную и мнимую части в виде

На практике задается на интервале конечной длины так что оценивается по финитному преобразованию Фурье

Такие финитные интегралы существуют всегда.

Реализация

Реализацией функции называется ее представление в зависимости от временнбго параметра, причем сама функция может быть детермированной или случайной. Если реализация является периодической, то величина, обратная периоду, называется частотой реализации. Вместо времени можно использовать любую другую независимую переменную, изменив соответствующим образом определение частоты.

Ряд Фурье

Ряд Фурье представляет периодическую функцию х (О как сумму индивидуальных гармоник. Если периодическая функция с периодом так что , то

Частота называется фундаментальной частотой. Коэффициенты Фурье равны

где переменная интегрирования.

Случайный процесс

Случайным процессом называется ансамбль реализаций, который можно описать с помощью соответствующих статистических характеристик, задающих, например, средние свойства этих реализаций в фиксированные моменты времени.

Спектр

Спектром любой величины называется ее описание как функции частоты. Спектр может быть линейчатым, непрерывным или кусочнонепрерывным.

Спектральная плотность (см. Функция спектральной плотности и Функция взаимной спектральной плотности)

Среднее значение

Средним значением х функции называется величина, получаемая при усреднении по времени значений на некотором интервале усреднения Т:

В случае эргодического процесса истинное среднее значение х получается переходом к пределу при устремлении к бесконечности.

Среднеквадратичное значение

Среднеквадратичное значение есть положительный квадратный корень из среднего квадрата. Если среднее значение равно нулю, то среднеквадратичное значение совпадает со среднеквадратичным отклонением.

Среднеквадратичное отклонение

Среднеквадратичное отклонение есть положительный квадратный корень из дисперсии. При нулевом среднем значении среднеквадратичное отклонение равно среднеквадратичному значению.

Средний квадрат

Средним квадратом функции называется величина, получаемая усреднением по времени? значений квадрата на некотором интервале усреднения Т:

В случае эргодического процесса истинный средний квадрат получается переходом к пределу при устремлении к бесконечности (см. также замечания в определениях ковариационной функции и функции спектральной плотности).

Стационарный процесс

Стационарный случайный процесс есть ансамбль реализаций, статистические свойства которого инвариантны по отношению к переносу начала отсчета времени. Стационарный процесс может быть эргодическим или неэргодическим.

Узкополосный случайный процесс

Узкополосным называется случайный процесс, спектральная плотность которого существенно отлична от нуля лишь в пределах узкой полосы частот, сосредоточенной вблизи некоторой центральной частоты. Если мгновенные значения процесса имеют гауссовское распределение вероятностей,

то его экстремальные значения приближенно подчиняются распределению Рэлея.

Фазовая характеристика (см. Частотная характерстика)

Функция взаимной спектральной плотности

В рамках методов, основанных на финитном преобразовании Фурье, функция взаимной спектральной плотности определяется для частот в интервале от до в виде

где означает усреднение при фиксированной частоте по ансамблю из функций и вычисленных по имеющимся парам реализации заданным на интервале длиной каждая. Величина есть комплексное сопряжение финитного преобразования Фурье функции финитное преобразование Фурье функции Функция при и именно ее измеряют на практике.

В теоретических исследованиях используется двухсторонняя функция взаимной спектральной плотности существующая при всех значениях от до

В стационарном случае функция взаимной спектральной плотности равна удвоенному преобразованию Фурье взаимной ковариационной функции

Функция взаимной спектральной плотности энергии

В рамках методов, основанных на финитном преобразовании Фурье, функция взаимной спектральной плотности энергии определяется для частот в интервале виде

где означает усреднение при фиксированной частоте ансамблю из имеющихся пар финитных преобразований Фурье (переходных) реализаций, заданных на интервале времени длиной каждая. Функция при и именно ее измеряют на практике.

Функция взаимной спектральной плотности энергии переходных случайных процессов связана с обычной функцией взаимной спектральной плотности тех же процессов соотношением

где длина реализаций.

В теоретических исследованиях используется двусторонняя функция взаимной спектральной плотности энергии, существующая при всех значениях

Функция когерентности

Функцией когерентности двух последовательностей называется отношение квадрата модуля функции взаимной спектральной плотности к произведению функций спектральной плотности

Величина удовлетворяет при всех неравенству

Эта функция обычной когерентности служит мерой точности оптимального линейного прогноза последовательности по значениям последовательности

Функция множественной когерентности

Функция множественной когерентности связывающая последовательность и набор отличных от нее последовательностей задает достижимую точность оптимального в среднеквадратичном смысле прогноза значений по значениям, с помощью уравнений линейной регрессии. Значения удовлетворяют при всех неравенству Функция обычной когерентности есть частный случай функции множественной когерентности.

Функция распределения

Функцией распределения называется вероятность того, что в любой момент времени значение удовлетворяет условию . Функция распределения связана с плотностью вероятности соотношением

где — переменная интегрирования. Заметим, что

Функция спектральной плотности

В рамках методов, основанных на конечном преобразовании Фурье, функция спектральной плотности (называемая также функцией спектральной плотности мощности) определяется для частот в интервале от в виде

где означает усреднение по ансамблю из имеющихся выборочных реализаций при фиксированной частоте Величина есть финитное преобразование Фурье последовательности заданной на интервале времени длиной Функция при и именно ее измеряют на практике.

В теоретических исследованиях используется двухсторонняя функция спектральной плотности, существующая при всех значения :

В случае стационарного процесса функция спектральной плотности равна удвоенному преобразованию Фурье ковариационной функции

Суммарный средний квадрат х последовательности ( может быть получен интегрированием функции или

Функция спектральной плотности энергии

В рамках методов, основанных на конечном преобразовании Фурье, функция спектральной плотности энергии определяется для в интервале в виде

где означает усреднение при фиксированной частоте по имеющемуся ансамблю из (переходных) реализаций при фиксированной частоте Величина есть финитное преобразование Фурье функции заданной на интервале времени длиной Функция при и именно ее измеряют на практике.

Функция спектральной плотности энергии переходного случайного процесса связана с функцией спектральной плотности «мощности» того же

процесса соотношением

где длина (переходных) реализаций. Заметим, что в случае переходного процесса функция должна стремиться к нулю при стремлении к бесконечности.

В теоретических исследованиях используется двухсторонняя функция спектральной плотности энергии, существующая при всех значениях от

Функция частной когерентности

Функция частной когерентности, связывающая последовательность с любым подмножеством из набора заданных последовательностей задает достижимую точность оптимального в среднеквадратичном смысле прогноза значений по значениям соответствующего подмножества из набора с помощью уравнений линейной регрессии. Значение функции частной когерентности изменяется от нуля до единицы.

Частотная характеристика

Частотной характеристикой линейной системы с постоянными параметрами называется преобразование Фурье импульсной переходной функции отвечающей этой системе. Соответствующая связь имеет вид

Инженеры часто называют передаточной функцией системы, хотя в действительности этот термин относится к преобразованию Лапласа от импульсной переходной функции.

При записи в полярных координатах имеем

где амплитудная характеристика системы, фазовая характеристика системы.

В случае линейной системы функцию можно оценивать для детермированных, переходных или стационарных случайных процессов, поскольку ее свойства не зависят от типа процесса, проходящего через систему.

Широкополосный случайный процесс

Широкополосным называется случайный процесс, спектральная плотность которого существенно отлична от нуля в пределах широкой полосы частот относительно некоторой центральной частоты.

Экстремальное значение

Экстремальным значением последовательности называется ее максимальное или минимальное значение. Число экстремумов в единицу времени может относится только к ее максимумам или минимумам, либо к тем и другим одновременно.

Эргодический случайный процесс

Эргодическим называется случайный стационарный процесс, для которого результаты усреднения по времени в пределах отдельной реализации одинаковы для всех реализаций. Таким образом, усреднение по времени для любой отдельной реализации эквивалентно соответствующему усреднению по ансамблю реализаций.

Чтобы легче понять это определение, рассмотрим стационарный случайный процесс где номер реализации. Для любой реализации среднее по времени значение статистической характеристики, например, средний квадрат, определяется равенством

Если процесс эргодический, то этот результат не должен зависеть от А: и будет одним и тем же для всех реализаций. Соответствующее среднее по ансамблю значение определяется равенством

и в случае стационарного процесса не зависит от Для эргодического процесса оба усреднения дают одинаковый результат.