10.3.2. МЕТОДЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ И ОШИБКИ МАСКИРОВКИ ЧАСТОТ

Перевод аналогового сигнала в дискретную форму для численного анализа производится обычно через равные интервалы времени, как показано на рис. 10.5. Задача заключается в правильном выборе величины интервала дискретности Согласно формуле (10.11), минимальное число отсчетов, нужное для описания реализации длиной при ширине спектра В, есть Поэтому при постоянном шаге по времени максимальный интервал дискретности . С одной стороны, при выборках (отсчетах) в точках, отстоящих друг от друга менее чем на будут получаться коррелированные данные, число которых будет избыточно велико, что неизбежно вызовет увеличение как объема, так и стоимости расчетов. С другой стороны, при выборках в точках, отстоящих друг от друга более чем на возможно перепутывание низко- и высокочастотных составляющих исходного процесса. Это явление называется маскировкой (подменой) частот. Оно представляет собой источник ошибок, которые отсутствуют при обработке аналогового сигнала; при цифровой обработке, когда сигнал предварительно преобразуется из аналоговой формы в дискретную, проблемы, связанные с маскировкой частот, могут играть важную роль. Так, например, все, кто видел классические фильмы «вестерны», обращал, несомненно, внимание на то, что при изменении скорости кареты кажется, что меняется и направление вращения ее колес. Это и есть простейший пример ошибок маскировки, вызванных преобразованием непрерывного процесса в дискретный, которое осуществляется съемочной камерой.

Чтобы пояснить явление подмены частот, рассмотрим иллюстрируемый рис. 10.5 случай преобразования непрерывного сигнала в дискретную форму; интервал времени между последовательными отсчетами составляет секунд. Следовательно, скорость дискретизации равна отсчетов в

Рис. 10.5. Дискретное представление непрерывной реализации.

секунду. Для того чтобы дискретная реализация содержала все те же частоты, что и исходный непрерывный сигнал, на каждый цикл соответствующего колебания должно приходиться по меньшей мере два отсчета. Поэтому наиболее высокая частота, которая может быть выделена при дискретизации со скоростью отсчетов в секунду, равна Гц. Содержащиеся в исходном сигнале более высокие частоты будут свернуты в диапазон Гц и будут неотличимы от более низких частот этого диапазона (рис. 10.6). Граничная частота

называется частотой Найквиста или частотой свертывания (наложения). Свертывание составляющих исходного процесса в диапазоне частот представляет собой нечто вроде гофрирования частот, как показано на рис. 10.7. В частности, для любой частоты принадлежащей диапазону замаскированными под частоту являются высокие частоты

Для доказательства этого факта заметим, что при

Таким образом, при снятии отсчетов с интервалами значения косинуса для частот одинаковы. Например, если Гц, то составляющие с частотой 30 Гц будут неотличимы от составляющих с частотами 170, 230, 370, 430 Гц и т. д. Аналогичным образом энергия колебаний

Рис. 10.6. Пример маскировки частот.

Рис. 10.7. Свертывание частот относительно частоты Найквиста

с такими высокими маскирующими частотами будет неотличима от энергии колебаний с более низкими частотами. Это объясняется тем, что при характеризующие энергию величины одинаковы для частот Следовательно, если граничная частота такая, как показано на рис. 10.8, то истинная спектральная плотность (рис. 10.8, а) будет искажена (рис. 10.8, б).

Единственный практический способ избавиться от ошибок маскировки частот при цифровом анализе данных заключается в том, чтобы еще до аналого-цифрового преобразования информации подавить в исходной аналоговой записи ту ее часть, которая может содержать частоты, превышающие частоты Найквиста Это делают, ограничивая диапазон частот исходных данных с помощью аналогового низкочастотного фильтра, устанавливаемого перед аналого-цифровым преобразователем. Такие низкочастотные фильтры, применяемые на АЦП, называются противоподменными. Поскольку ни один низкочастотный фильтр не может иметь вертикально спадающую частотную характеристику, принято задавать вырезывающую частоту фильтра равной примерно частоты Этот прием обеспечивает сильное подавление всех колебаний с частотами, превышающими

Рис. 10.8. Искажение спектральной плотности при свертывании частот: а — истинный спектр; б - искаженный спектр.

Рассмотрим теперь операцию квантования. Поскольку числовое значение каждого отсчета должно быть выражено некоторым конечным числом цифр, континуум значений непрерывного процесса можно описать с помощью конечного числа уровней квантования лишь приближенно. Как бы ни была точна шкала, необходимо сделать выбор между двумя ее соседними значениями (рис. 10.9). Если квантование выполнено верно, то истинным значениям исходного непрерывного сигнала будут соответствовать наиболее близкие к ним уровни квантования. Точность приближения к непрерывному процессу зависит от числа уровней квантования. Поскольку в большинстве современных аналого-цифровых преобразователей сигнал на выходе дается в двоичном коде, что позволяет непосредственно вводить его в ЭВМ, число уровней квантования также удобно представлять в двоичном коде. Типичные преобразователи аналогового сигнала в цифровой дают от 6 до 16 бит информации, что соответствует диапазону от 64 до 65 536 уровней квантования. При идеальном преобразовании ошибка квантования распределена равномерно со стандартным отклонением, приближенно равным где шаг квантования. В этом легко убедиться.

Пусть плотность вероятности ошибки квантования:

Очевидно, что среднее значение ошибки равно нулю, поскольку кривая зависимости симметрична относительно Дисперсия ошибки равна

так что среднеквадратичное отклонение равно

Рис. 10.9. Ошибка квантования.

Это и есть среднеквадратичное значение ошибки квантования, которое можно рассматривать как среднеквадратичное значение помехи, наложенной на полезный сигнал. Предположим, например, что весь диапазон значений сигнала разбит на 256 уровней (8 бит). В этом случае отношение пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению помехи составит около

На практике ошибка квантования обычно пренебрежимо мала по сравнению с другими ошибками, возникающими в процессе сбора и обработки данных. Однако следует всегда стремиться к тому, чтобы диапазон изменений исходного непрерывного процесса занимал возможно большую часть шкалы квантования. В противном случае разрешающая способность окажется малой, а ошибка квантования — существенной.