9.2. Оценки для моделей с одним входом и одним выходом

Рассмотрим показанную на рис. 9.1 модель системы с одним процессом на входе и одним процессом на выходе. Здесь

преобразование Фурье измеренного входного сигнала который, как предполагается, не содержит помехи;

преобразование Фурье измеренного на выходе сигнала

— преобразование Фурье расчетного выходного сигнала

— преобразование Фурье расчетного шума на выходе

частотная характеристика оптимальной линейной системы с постоянными параметрами, связывающей .

Пусть для анализа имеется лишь одна пара реализаций и с достаточной полнотой описывающая свойства соответствующих гауссовых случайных процессов с нулевыми средними значениями. Эти процессы могут быть как стационарными, так и переходными. Для определенности будем считать их стационарными, а результаты выразим через односторонние спектры. Формулы для нормированных случайных ошибок одинаковы для односторонних и двусторонних спектров.

Искомые оценки параметров модели, представленной на рис. 9.1, определяются, согласно разд. 6.1.4, приводимыми ниже формулами. Оценка оптимальной частотной характеристики есть

Рис. 9.1. Модель системы с одним входом и одним выходом.

где - «сглаженные» оценки функций спектральной плотности входного процесса и взаимной спектральной плотности входного и выходного процессов соответственно. Оценка функции обычной когерентности имеет вид

где «сглаженная» оценка спектра процесса на выходе системы. Оценка когерентного спектра выходного процесса есть

а оценка спектра шума на выходе имеет вид

Из формулы (6.61) следует также, что

поскольку при расчете по соотношению (9.53) и при некоррелированных процессах взаимный спектр

При записи в полярных координатах частотная характеристика имеет вид

где оценка амплитудной характеристики системы равна

а оценка фазовой характеристики системы представлена в форме

Функция Фхуи) совпадает с фазовым углом взаимного спектра, а также с фазой, которая в дальнейшем будет отвечать комплексной функции определенной в полярных координатах в виде

Заметим, что все приведенные здесь «сглаженные» оценки можно вычислить по «сглаженным» оценкам функций

Формулы для случайных ошибок оценок всех этих характеристик будут содержать неизвестную истинную функцию когерентности и число независимых оценок по которым производится усреднение. Для их

применения к реальным данным нужно заменить ее оценкой при соответствующем значении числа независимых слагаемых

Это даст практически приемлемые результаты, особенно в случаях, когда полученная таким путем нормированная случайная ошибка не превышает