2.3. Частотные характеристики

Если линейная система с постоянными параметрами физически осуществима и устойчива, то ее динамические свойства можно описать посредством частотной характеристики которая определяется как преобразование Фурье функции т. е.

Отметим, что нижний предел интегрирования равен нулю, а не поскольку при По существу, частотная характеристика — это частный случай передаточной функции, когда в показателе экспоненты величина . В случае физически осуществимых устойчивых систем частотная характеристика содержит ту же информацию, что и передаточная функция.

Можно получить важное соотношение, содержащее частотную характеристику, взяв преобразование Фурье от обеих частей уравнения (2.2). Пусть преобразование Фурье входного сигнала преобразование Фурье соответствующего выходного сигнала при этом предполагается, что оба эти преобразования Фурье существуют; тогда из уравнения (2.2) следует, что

Итак, в терминах частотной характеристики системы и преобразований Фурье входного и выходного сигналов интегралу свертки из уравнения (2.2) соответствует простое алгебраическое выражение (2.14).

Как правило, частотная характеристика — это комплекснозначная функция, поэтому удобно представить ее через модуль и аргумент. Для этого запишем в полярной форме:

Модуль называется амплитудной характеристикой, а соответствующий аргумент фазовой характеристикой. В этих терминах частотная характеристика интерпретируется следующим образом. Предположим, что входным сигналом системы служит гармоническая функция с частотой (считаем, что она определена на всей оси времени); эта функция вызывает выходной сигнал, являющийся, как было показано в разд. 2.2, тоже гармонической функцией с той же частотой. Отношение амплитуд выходного и входного сигналов равно амплитудной характеристике системы а сдвиг фазы между выходным и входным сигналами задается фазовой характеристикой системы.

Из условий физической осуществимости следует, что частотная, амплитудная и фазовая характеристики линейной системы с постоянными параметрами обладают следующими свойствами симметрии:

Далее, если последовательно с системой, описываемой частотной характеристикой включена вторая система с частотной характеристикой причем между двумя системами отсутствует обратная связь или связь через нагрузку, то частотная характеристика новой системы имеет вид

Следовательно, при последовательном соединении двух систем с соблюдением указанных выше условий амплитудные характеристики перемножаются, а фазовые складываются.

Важно помнить, что частотная характеристика линейной системы с постоянными параметрами зависит только от частоты и не зависит ни от времени, ни от вида входного сигнала. В случае нелинейной системы может зависеть от входного сигнала системы. Если же параметры системы не постоянны, то зависит от времени.