5.2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРОВ С ПОМОЩЬЮ ФИЛЬТРАЦИИ

Третий способ вычисления спектральной плотности подразумевает применение аналоговых устройств и включает следующие операции, схематически представленные на рис. 5.5:

1) частотную фильтрацию сигнала с помощью узкополосного фильтра с полосой пропускания и центральной частотой в результате этой операции получается величина

2) возведение в квадрат мгновенного значения отфильтрованного сигнала;

3) усреднение квадрата мгновенного значения по реализации длины в результате этой операции образуется оценка среднего квадрата отфильтрованного сигнала;

4) деление на ширину полосы пропускания фильтра в результате чего получается оценка скорости изменения среднего квадрата в зависимости от центральной частоты

Следовательно, оценка спектральной плотности имеет вид

Для вычисления взаимной спектральной плотности аналоговыми методами применяется прямое обобщение описанной процедуры на случай двух сигналов которое включает следующие операции:

1) раздельную частотную фильтрацию обоих сигналов с помощью узкополосных фильтров, имеющих одинаковые полосы пропускания и одну

Рис. 5.5. Измерение спектральной плотности аналоговыми методами, и ту же центральную частоту в результате получаются и

2) перемножение мгновенных значений двух отфильтрованных сигналов при отсутствии сдвига фазы между ними с целью получения синфазных членов, необходимых для вычисления коспектра;

3) перемножение мгновенных значений двух отфильтрованных сигналов, причем сдвигается по фазе на 90° по отношению к с целью получения смещенных по фазе членов, что нужно для вычисления квадратурного спектра;

4) усреднение каждого из этих произведений по реализации длиной с целью построения оценок средних произведений синфазных и смещенных до фазе членов;

5) деление каждого из средних произведений на ширину полосы пропускания для получения оценок Тогда оценка взаимной спектральной плотности имеет вид

Здесь — сдвинутый по фазе на 90° отфильтрованный сигнал

Эквивалентность этого третьего, аналогового определения спектральных плотностей предыдущим двум математическим определениям из разд. 5.2.1 и 5.2.2 не очевидна и требует доказательства. Приведем такое доказательство для автоспектров. Эквивалентность обоих определений взаимной спектральной плотности доказывается аналогично.

Рассмотрим определение спектральной плоскости из формулы (5.67), где

Величина

действует как фильтр, выделяющий значение среднего квадрата в узкой полосе частот, окружающей центральную частоту Чтобы доказать это неочевидное утверждение, определим для любой реализации процесса величину

Тогда средний квадрат конкретной реализации можно выразить формулой

Если преобразование Фурье то по теореме Парсеваля

Доказательство этого соотношения оставим в качестве простого упражнения. Поскольку это преобразование Фурье , т. е.

то

Тогда, взяв математическое ожидание от по всевозможным реализациям процесса получим уже знакомую формулу

где определено формулой (5.71).

Предположим теперь, что проходит через узкополосный фильтр с центральной частотой и полосой пропускания имеющий частотную характеристику вида

Тогда преобразование Фурье процесса на выходе фильтра равно , где преобразование Фурье входного процесса. Поэтому вместо формулы (5.77) для среднего квадрата отдельной отфильтрованной реализации получим выражение

Взяв математическое ожидание от обеих частей формулы (5.80), получим

Таким образом, формула (5.81) утверждает, что есть скорость изменения среднего квадрата в зависимости от частоты. Кроме того, оператор действует на реализацию как фильтр, который пропускает только те ее составляющие, что лежат в узкой полосе частот, а затем возводит в квадрат значения на выходе до выполнения соответствующих операций усреднения. Именно на таком принципе действуют аналоговые спектральные анализаторы.