12.4. Средний квадрат нестационарного процесса

Теперь по аналогии с разд. 12.3 проанализируем, как зависит от времени средний квадрат процесса. Такую информацию можно получить при помощи специальной аппаратуры или вычислительной машины, которая рассчитывает оценку среднего квадрата по реализациям следующим путем. Значение квадратов выборочных функций нестационарного процесса при фиксированном 1 усредняются по ансамблю:

Величина представляет собой при любом 1 несмещенную оценку истинного среднего квадрата процесса при любом поскольку ее математическое ожидание равно

Величина

есть истинный средний квадрат нестационарного процесса в момент Из рис. 12.4 видно, как можно измерить просто заменив на

12.4.1. НЕЗАВИСИМЫЕ РЕАЛИЗАЦИИ

Допустим теперь, что реализаций попарно, независимы, так что при любых

Найдем дисперсию оценки По определению

где величина определяется формулой (12.35) и

Таким образом, согласно соотношению (12.38), задача сводится к оценке математического ожидания.

Для получения разумных решений в замкнутой форме допустим теперь, что случайный процесс любом подчиняется нормальному распределению со средним значением и дисперсией Можно показать, что тогда

Вывод формул (12.39) и (12.40) основан на соотношении для четвертых моментов нестационарных нормальных случайных величин (формула (3.82):

Подстановка этого соотношения в формулы (12.37) и (12.38) дает

Следовательно, дисперсия оценки стремится к нулю при так что состоятельная оценка для всех

Чтобы получить доверительный интервал для удобнее работать с оценкой нестационарной дисперсии, которая, согласно выражению (12.35), имеет вид

Если величины распределены нормально, то оценка имеет при каждом определенное в разд. 4.3.2 выборочное распределение, где

случайная величина, имеющая -распределение с степенями свободы (см. разд. 4.2.2). Таким образом, при любом доверительный интервал для с уровнем доверия есть

12.4.2. КОРРЕЛИРОВАННЫЕ РЕАЛИЗАЦИИ

Для случая коррелированных реализаций примем, как и в разд. 12.3.2, что функции удовлетворяют соотношению

Теперь при формула (12.40) принимает вид

где При равенство (12.46) перепишем в виде

Способ включения в анализ функций описан в разд. 12.3.2. Здесь аналогичный прием ведет к соотношению

что служит полезным обобщением формулы (12.42).

ПРИМЕР 12.3. ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНОК СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ КВАДРАТА ПРИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ МЕЖДУ РЕАЛИЗАЦИЯМИ. Для получения некоторых соответствующих формуле (12.42) количественных выражений, которые отвечали бы различной степени корреляции, предположим, что имеет вид

где к и с — положительные постоянные. Определим соответствующую выборочную дисперсию для оценок среднего значения квадрата.

Выборочная дисперсия определяется выражением (12.49). Для нахождения этой оценки, как и в примере 12.2, воспользуемся функциями и Имеем

Следовательно, второе слагаемое в правой части выражения (12.49) есть

Итак, искомая дисперсия определяется последней формулой и первым членом формулы (12.49).

12.4.3. АНАЛИЗ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ РЕАЛИЗАЦИЙ

В некоторых случаях оценка переменного во времени среднего квадрата может быть получена путем низкочастотной фильтрации всего одной

реализации (см. разд. 12.3.3). При этом удобно иметь дело с мультипликативной моделью нестационарного процесса вида

где детерминированная функция, а случайный процесс с не зависящими от времени нулевым средним значением и единичной дисперсией. Таким образом, средний квадрат процесса в момент есть

Как и при оценивании среднего значения, заметим, что если меняется медленнее низкочастотных составляющих процесса то можно отфильтровать по одной реализации Это можно осуществить, применяя к квадрату сигнала один из методов, рассмотренных в разд. 12.3.3. Конечно, получаемая таким путем оценка среднего квадрата будет смещена. Например, при оценивании усреднением по короткому интервалу имеем

ПРИМЕР 12.4. ОЦЕНКА СРЕДНЕГО КВАДРАТА, ПОЛУЧЕННАЯ УСРЕДНЕНИЕМ ПО КОРОТКОМУ ИНТЕРВАЛУ ВРЕМЕНИ. Рассмотрим вибрации конструкций стартующего космического корабля. Естественно ожидать, что в любой точке корабля вибрация образует нестационарный случайный процесс, поскольку вынуждающие силы во время взлета (прежде всего, акустический шум, создаваемый турбулентным перемешиванием выхлопных газов ракетного двигателя с окружающим воздухом) зависят от быстро меняющихся параметров, в частности от скорости корабля и от расстояния до точки отражения струи на поверхности земли. Измерение переменного во времени среднего квадрата путем усреднения по ансамблю в соответствии с формулой (12.33) в этом случае нереально экономически, поскольку для получения нужных для операции усреднения реализаций придется раз запускать космический корабль. Можно ли получить приемлемое решение этой задачи, пользуясь усреднением по коротким интервалам времени?

При любой заданной конфигурации космического корабля характер вибрации его конструкций будет в общем повторяться, поскольку параметры, от которых зависят вынуждающие силы, меняются от запуска к запуску одним и тем же образом. Кроме того, такой временной тренд будет относительно медленным (несколько секунд на полуцикл) по сравнению с минимальной частотой энергетически значимых возмущений (несколько герц). Поэтому для решения задачи в первом приближении можно воспользоваться моделью (12.50).

Для демонстрации конкретного приложения рассмотрим данные реальных измерений, показанные на рис. 12.5. Здесь даны полученные

Рис. 12.5. Переменные во времени среднеквадратичные значения вибрации космического корабля во время старта. Данные Лаборатории реактивного движения в Пасадене, Калифорния.

усреднением по коротким интервалам оценки среднеквадратичного значения вибраций одной и той же конструкции при взлете трех космических кораблей примерно одинаковой конфигурации. Время усреднения в каждом случае составляет около 1 с, а ширина спектра процесса — несколько сотен герц. Хорошее согласие результатов для всех трех запусков показывает, что последовательность оценок среднего квадрата, вычисленных усреднением по коротким интервалам, служит неплохим приближением зависимости среднего квадрата от времени. При этом нужно, конечно, помнить, что, согласно соотношению (12.52), все эти оценки смещены.