11.4. Ковариационные функции

Существует два способа вычисления ковариационных функций. Прямой способ заключается в вычислении среднего значения произведений случайных переменных, образующих выборку. Косвенный прием требует вычисления вначале оценки спектральной плотности с помощью БПФ и ее последующего обратного преобразования. Прямой способ проще для программирования и логичнее с точки зрения основных определений. Преимущество второго подхода заключается в возможности существенно повысить экономичность расчетов путем использования БПФ и потому обходится заметно дешевле.

11.4.1. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ОЦЕНИВАНИЕ КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

Рассмотрим значений случайной переменной выбранных через одинаковый промежуток времени из реализации принадлежащей стационарному процессу и имеющей среднее значение Согласно основному определению (8.90), оценка ковариационной функции реализации при задержке по времени вычисляется по временному ряду в виде

где называется сдвигом, максимальным сдвигом Заметим, что число возможных произведений при сдвиге в уравнении (11.86) есть Следовательно, для получения несмещенной оценки ковариационной функции деление в правой части уравнения следует производить на Число операций умножения и сложения действительных чисел, нужное для получения ковариационной оценки, равно примерно (предполагается, что

11.4.2. ОЦЕНИВАНИЕ КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ БПФ.

Косвенный способ оценивания ковариационной функции основан на использовании соотношений Винера — Хинчина (5.28). Оценка ковариационной функции находится как обратное преобразование Фурье оценки

Рис. 11.4. Пример эффекта цикличности при вычислении ковариационной функции методом БПФ.

спектральной плотности. Поскольку в основе финитного преобразования Фурье лежит допущение о периодичности, получаемая таким путем ковариационная функция имеет «циклический» характер. Это присходит потому, что в алгоритме БПФ исходная последовательность длиной рассматривается по сути дела как реализация одного периода периодической функции. Потому, как показано на рис. 11.4, вычисляемая таким путем ковариационная функция как бы представляет собой ковариационную функцию периодической последовательности. Для момента времени и запаздывания удовлетворяющих условию произведение

Следовательно, получаемая таким образом оценка будет содержать вклад как от так и от .

Для количественной оценки этих вкладов поступим следующим образом. Пусть преобразование Фурье реализации его комплексное сопряжение равно

Очевидно, что

Произведя замену переменных а, так что перепишем равенство (11.88) в виде

Согласно (5.67), оценка двусторонней функции спектральной плотности реализации ищется в виде

Меняя порядок интегрирования (см. рисунок ниже), получим

Положив в первом слагаемом правой части (11.91), получим

где вместо подставлено Произведя еще одну замену получим

При получении этого равенства использован тот факт, что для любого значения и целого к величина Таким образом, формула (11.91) эквивалентна равенству

где

Отсюда следует, что обратное преобразование Фурье функции заданной соотношением (11.92), даст функцию определенную формулой (11.93). В случае дискретной последовательности отвечающая формуле (11.93) циклическая ковариационная функция принимает вид

Поведение слагаемых в первой части этого равенства показано на рис. 11.5. При быстро затухающих ковариационных функциях эффект

Рис. 11.5. Пример циклической корреляционной функции.

цикличности не играет особенно важной роли в практических расчетах для значений максимального сдвига порядка Во всяком случае, этого осложнения можно избежать, дополняя исходный временной ряд нулями. В результате этого происходит разделение обеих частей циклической оценки ковариационной функции. В частности, при добавлении нулей к исходному временному ряду той же длины происходит полное разделение.

Обе части соотношения (11.95) показаны на рис. 11.6. Заметим, что первая половина этой оценки (при представляет собой значения ковариационной функции при положительных значениях сдвига а вторая (при при отрицательных значениях сдвига . Но поскольку ковариационная функция есть всегда четная

Рис. 11.6. Изменение ковариационной функции при добавлении нулевых значений к исходному ряду.

функция вторую половину можно отбросить, и окончательно несмещенная оценка ковариационной функции находится в виде

Оценка (11.96) статистически эквивалентна прямой оценке (11.86). Однако в зависимости от величины максимального сдвига такой косвенный метод с использованием БПФ может потребовать заметно меньшего объема вычислений. Действительно, косвенный метод требует нахождения вначале оценки спектральной плотности, для чего осуществляется БПФ по независимым реализациям, каждая из которых содержит отсчетов и дополнена нулями, так что БПФ производится для реализаций длиной Затем значений сглаженной спектральной оценки подвергаются обратному преобразованию Фурье, что в обшей сложности дает быстрых преобразований Фурье, каждое из которых требует операций над действительными числами (см. разд. 11.2.2). Для реализации эквивалентного объема прямой метод расчета требует примерно операций. Следовательно, при одном и том же максимальном сдвиге коэффициент ускорения вычислений равен

Например, при имеем На практике же благодаря тому, что оценки автоспектра и автоковариационной функции строятся для последовательностей действительных чисел, применение БПФ позволяет повысить скорость расчета еще вдвое (см. разд. 11.2.4).

Рекомендуемая последовательность операций для получения оценки ковариационной функции методом БПФ описана ниже в предположении, что длина исходной реализации есть

1. Выбирается максимальный сдвиг и исходная реализация разбивается на отрезков, каждый из которых состоит из отсчетов.

2. Каждый отрезок дополняется нулями, в результате чего новая последовательность содержит членов.

3. По формуле (11.36) при замене на рассчитывается значений последовательности

4. По приводимой ниже формуле (11.101) рассчитывается оценка двусторонней спектральной плотности

5. По соотношению (11.76) при замене на на на осуществляется обратное БПФ последовательности дающее оценку

6. Вторая половина значений отбрасывается, и сохраняются лишь результаты для .

7. Искомая оценка находится умножением на масштабные коэффициенты .

Следует отметить, что обратное преобразование, выполняемое на шаге 5, требует использования всех значений спектральной оиенки , несмотря на то, что частота Найквиста отвечает значению Дальнейшее обсуждение этого вопроса содержится в разд. 11.5.1. Следует также иметь в виду, что, согласно разд. 8.4, дисперсия оценки ковариационной функции обратно пропорциональна величине Поэтому при достаточно большом приемлемую онеику ковариационной функции можно получить, выполнив БПФ лишь однажды Наконец, при вычислении оценки автоспектра на шаге 4 операцию сглаживания, рассмотренную в разд. 11.5.2, выполнять не следует.