8.4.3. ЛОКАЛИЗАЦИЯ ЭКСТРЕМУМОВ КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

Результаты, приведенные выше в разд. 8.4, содержат формулы для определения случайных ошибок при оценивании эстремальных значений функций Одиако при этом остается пока нерешенной важная проблема точной локализации таких экстремальных значений ковариационных функций. Предположим для определенности, что ковариационная функция имеет форму, отвечающую ограниченному по частоте белому шуму, т.е.

Максимальное значение наблюдается в точке Разлагая в ряд в окрестности имеем

Таким образом, вблизи оценка имеет вид

и ее математическое ожидание

Следовательно, (0) есть несмещенная оценка Ее дисперсия

Поэтому нормированная среднеквадратичная ошибка равна

Предположим теперь, что значения описываются гауссовым распределением с нулевым средним значением и диперсией

В этом случае четвертый момент распределения, входящий в формулу (8.120), равен

следовательно,

Таким образом, имеем

95%-доверительный интервал для оценки местоположения экстремума ковариационной функции есть

ПРИМЕР 8.4. ОЦЕНКА ЗАПАЗДЫВАНИЯ ПО ВЗАИМНОЙ КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ. Пусть наблюдаемые реализации содержат общий сигнал и некоррелированные помехи

Согласно разд. 5.1.4, максимальное значение взаимной ковариационной функции будет наблюдаться при сдвиге определяющем относительное запаздывание в поступлении сигнала в реализации Предположим теперь, что ограниченный по частоте белый шум со спектральной шириной Гц, а отношения шума к сигналу в суть Имея реализации и длиной определим точность оценивания запаздывания по оценке положения максимума ковариационной функции

Согласно уравнению (8.114), нормированная случайная ошибка оценки максимума ковариационной функции дается приближенным соотношением

Заметим, что из формулы (8.112) следует более точная оценка . В соответствии с формулой (8.124) приближенное значение для среднеквадратичного отклонения оценки есть

Из соотношения (8.125) следует, что приближенный -доверительный интервал для оценки (в секундах) есть