9. Эвклидово аморфное пространство.

Обозначив через натуральное число, будем называть точкой всякую совокупность действительных

чисел, взятых в определенном порядке:

Число будет называться координатой точки р.

Интервалом измерений) называется можество точек выделяемое неравенствами

(где числа таковы, что

На множестве всех точек следующим образом отределяется топология:

открытыми множествами будут интервалы, их объединения и пустое множество.

Легко проверить, что этим действительно определяется топологическое пространство. Оно называется аморфным эвклидовым -мерным пространством и обозначается через называется прямой, — плоскостью). Различные пространства являются основными пространствами дифференциальной геометрии.

Замыкание интервала (9.1) есть множество таких точе что и называется (-мерным) сегментом. Пусть две точки:

мы видим, что каждая из величин

определяет расстояние, индуцирующее только что описанную топологию.

Начияая с этого момента мы будем рассматривать пространство как метрическое пространств), метряка в котором определена с помощью одного из этих расстояний.

Отображение ставящее в соответствие точке подпространства пространства точку пространства записывается с помодью числовых функций от переменных

Непрерывность этого отображения в точке определяется следующим образом: всякому можно поставить в соответствие число так, что

при

или числа так, что неравенства выполняются при

или же число так, что (9.4) выполняются при

Отображения пространства на себя

где произвольные числа, являются гомеоморфизмами на себя, при помощи которых можно геревести заданную точку в другую точку; по этой причине пространство называется однородным.

В каждом интервале можно найти точку для которой рациональные числа; отсюда следует, что множество точек с рациональными координатами плотно в пространстве которое вследствие этого является сепарабелъным, как и все его подпространства. Будучи метрическим, пространство как и все его подпространства, будет отделимым, регулярным и нормальным. Кроме того, оно полно.

Множество ограничено, если существует число такое, что для всякой точки Всякое компактное множество, поскольку оно имеет конечный диаметр, непременно ограничено. Обратно, всякое множество, ограниченное и замкнутое, будет компактным, как это вытекает из следующего результата:

Лемма Больцано — Вейерштрасса. В пространстве всякое бесконечное ограниченное множество точек имеет по крайней мере одну предельную точку.

Мы не приводим доказательства этой леммы, которое можно найти в любом курсе анализа.

Из нее следует, что пространство локально компактно. Назовем линейным многообразием I измерений или -мерным линейным многообразием, множество точек с координатами

где с — постоянные, действительные переменные и где матрица

имеет ранг I (имеется минор порядка , не равный нулю, и все миноры порядка равны нулю). Линейное многообразие измерений гомеоморфно При это многообразие называется также гиперплоскостью (или просто плоскостью). При мы имеем прямую

Гиперплоскости называются координатными гиперплоскостями; овокупность их образует так называемый координатный . Прямая

называется осью координат, точка началом координат.