2. Теория плоских кривых. Репер Френе.

Рассмотрим в неподвижном репере плоскую кривую С, геометрическое место точек Реперы нулевого порядка, которые мы присоединяем к каждой точке кривой С, будут реперами такими, что аналитическая точка совпадает с геометрической точкой для фиксированного компоненты обращаются в нуль; это главные компоненты, и мы имеем Мы будем отправляться от реперов первого порядка, таких, что прямая будет касательной к кривой в точке тогда что дает посредством внешнего дифференцирования , так что, скажем, следовательно,

Новое внешнее дифференцирование дает нам

откуда для вариации параметра а получаем

Параметр а определяется с точностью до множителя; следовательно, можно определить реперы второго порядка, приняв или . В первом случае полученное соотношение будет тождеством и не дает ничего нового; редукция на этом кончается; реперы Френе будут зависеть от пяти параметров в каждой точке, а линия будет прямой.

Вернемся к общему случаю; заменяя на мы видим, что при этом меняется знак компоненты компонента не меняется, а параметр а заменяется на следовательно, всегда можно определить реперы второго порядка, приняв Окончательно имеем для этих реперов

Из соотношения внешним дифференцированием получаем

откуда посредством вариации параметра при изменении вторичных параметров находим, что

параметр подвергается общему линейному преобразованию; можно определить реперы третьего порядка, положив (что дает ), и мы получим

Внешнее дифференцирование формулы, которая содержит с, дает

с испытывает линейное преобразование, реперы четвертого порядка будут определяться равенством (что дает ), и мы получим

Отсюда получаем, что

с определяется только с точностью до множителя; можно определить триэдры пятого порядка, положив в случае, когда с равно нулю, редукцию нельзя продолжать; этот частный случай будет рассмотрен в параграфе 3.

В общем случае, заменяя на на мы видим, что с переходит в следовательно, всегда можно определить триэдры пятого порядка, положив (откуда , что имеет следствием ):

Более того, легко показать, что следовательно, форма будет полным дифференциалом; поскольку она содержит только дифференциалы главных параметров, она будет инвариантной формой пятого порядка; мы положим будем называть а проективной дугой.

Продолжая редукцию, мы найдем

группа, оперирующая над параметром будет группой переносов; реперы шестого порядка определятся, если положить что дает (откуда ). Вторичных параметров больше нет; имеем репер Френе

Мы положим где инвариант седьмого порядка, называемый проективной кривизной. Окончательно, имеем формулы Френе: