12. Поля параллельных контравариантные векторов.

Допустим, что существует поле контравариантных векторов перемещающихся параллельно самому себе вдоль любой кривой пространства, т. е., отправляясь от вектора и двигаясь в точку вдоль произвольной кривой пространства, мы получаем вектор, параллельный вектору Кривые, которые в каждой из их точек касаются вектора поля, очевидно, представляют собой геодезические.

Уравнения (8.1) дают равенства

что позволяет положить

где компоненты ковариантного вектора.

Возвращаясь, с другой стороны, к обозначениям § 4 и перемещая вектор X вдоль замкнутого бесконечно малого цикла, мы видим, что с точностью до бесконечно малых третьего порядка

откуда

Поэтому, если мы потребуем, кроме того, чтобы после обхода бесконечно малого цикла вектор возвращался в свое первоначальное положение с точностью до бесконечно малых третьего порядка, то должны выполняться равенства

Формулы (12.1) дают

откуда с помощью внешнего дифференцирования в силу (12.2) получаем что

Отсюда следует, что т. е. что градиент.

Окончательно, мы видим, что поле будет параллельным полем, или полем параллельных векторов если это поле удовлетворяет формулам (12.1), где градиент. Положим тогда

Из следует, что

т. е. можно найти такую функцию точки что у вектора все ковариантные производные тождественно равны нулю. Обратно, если можно найти такую функцию то показывает, что форма есть полный дифференциал, т. е. речь идет о поле параллельных векторов.

В дальнейшем мы будем считать что всегда можно сделать. Тогда можно сказать, что для того, чтобы существовало поле параллельных контравариантных векторов, необходимо и достаточно, чтобы уравнения

имели решение. Такое поле векторов называется стационарным.

При помощи ковариантного дифференцирования из уравнений (12.2) получаем, принимая во внимание предыдущие:

Системы (12.2) и (12.4) линейны и однородны по Предположим, что они допускают линейно независимых решений ( индекс, определяющий объект), так что общее решение этих систем есть

где произвольные функции точек, которые мы попытаемся определить таким образом, чтобы поле было стационарным.

Заметим сначала, что если есть решение систем (12.2) и (12.4), то есть также их решение, так что можно написать

где — линейные дифференциальные формы, для которых имеем, в силу (12.2),

Условие для того, чтобы поле векторов с компонентами (12.5) было стационарным, имеет вид

или

Эта система вполне интегрируема, как мы видим из (12.6). Ее решение содержит произвольных постоянных, поэтому имеем стационарных линейно независимых полей, а другие будут их линейными комбинациями с постоянными коэффициентами.

Существование полей контравариантных векторов, являющихся решениями систем (12.2) и (12.4), необходимо и достаточно для существования полей параллельных контравариантных векторов.

Если и пространство имеет нулевую кривизну. Говорят, что такое пространство есть пространство абсолютного параллелизма,

так как вектор полученный параллельным перемещением вектора вдоль произвольной кривой, соединяющей не зависит от этой кривой, по крайней мере локально.

Теперь следует выяснить, каким образом можно узнать, не сводятся ли системы (12.2) и (12.4) к конечному числу различных уравнений (а затем посмотреть, не будет ли это число меньше Пусть известно, что система

есть следствие системы

причем каждая система до порядка вносит по крайней мере одно новое уравнение.

В силу выражений для ковариантных производных [обобщение (5.5) и (5.6)] и независимости системы (12.2) и (12.4) эквивалентны системам

Гипотеза, сделанная относительно (12.8), означает поэтому, что существуют соотношения вида

Дифференцированием и заменой в правой части производных порядка их предыдущими выражениями, мы получаем, что частные производные порядка от компонент тензора кривизны выражаются линейно через компоненты и их частные производные до порядка и отсюда следует, что система

есть следствие системы (12.8). Продолжая рассуждение, мы видим и более общий факт, а именно, что система

есть следствие системы (12.8). Поэтому то же самое справедливо и для системы

Таким образом мы убеждаемся, что если система (12.7) есть следствие системы (12.8), то и остальные уравнения системы (12.4) не являются новыми.

Для полей ковариантных векторов можно развить аналогичную теорию. Мы скажем, что поле есть параллельное поле, если

где обозначает функцию точки. Умножением на скаляр можно тогда получить стационарное поле Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы существовало поле ковариантных параллельных векторов, состоит в том, что системы

должны иметь решения, не равные тождественно нулю.

Найдем условие, при котором стационарное поле было бы полем градиента Формула (5.10) (при ) дает

Обратно, всякое ковариантное стационарное поле, удовлетворяющее уравнениям (12.10), есть поле стационарного градиента.