16. Группы Ли.

Определение непрерывной группы отличается от того определения, которое напрашивается, а именно, что эта связная и компактная группа; обычно говорят, что непрерывная группа — это локально компактная и связная группа.

Мы будем также изучать группы, у которых компонента связности нейтрального элемента есть континуум.

Мы не будем рассматривать следствий, которые вытекают из гипотезы, что группа непрерывна, и перейдем к топологическим группам, называемым группами Ли, или непрерывными конечными группами. Это такие группы, окрестность единицы которых (а следовательно, и окрестность любой точки) гомеоморфна -мерному шару, тогда как сама группа гомеоморфна -мерному аналитическому многообразию называемому пространством параметров называется порядком группы).

Пусть два элемента группы, принадлежащие одному и тому же шару и отнесенные к одной и той же системе координат. Положим где и принадлежит тому же шару, что и элементы Группа определяется посредством соотношений вида

которые мы будем писать сокращенно в форме

где — аналитические функции своих аргументов, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям, на которых мы не будем останавливаться. Можно условиться, что единичный элемент соответствует нулевым значениям параметров.

Эти группы будут употребляться как группы преобразований, действующие на некоторой области лежащей внутри шара на некотором многообразии точки х которого заданы с помощью координат

Преобразование а группы переводит точку х в точку определяемую уравнениями

где будут аналитическими функциями от переменных [Пишут кратко , или еще ].

Из условия взаимной однозначности вытекает, чтоякобиан Следовательно, мы можем разрешить уравнения (16.2) относительно и получить формулы обратных преобразований

Произведение двух преобразований

задается формулами (16.2), где параметры должны быть заменены параметрами заданными формулами (16.1).

В уравнениях (16.2) всякая точка х из имеет координатами чисел Вообще, репером в называют всякое взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение области в числовое пространство Пусть аналитическое преобразование области на себя, допускающее обратное преобразование Мы назовем образом репера при преобразовании репер в ротором точка имеет те же координаты, что точка х в Множество образов репера при преобразованиях из группы называется подвижным репером группы преобразований.

Пусть преобразование, действующее на области определенное, скажем, уравнениями

Будем искать уравнения, определяющие его в репере где обозначает преобразование, имеющее обратное. Относительные координаты точки в репере будут координатами точки в репере Но координаты в точности те же, что координаты точки х в репере Итак, в репере преобразование выражается уравнениями преобразования называемого преобразованием посредством

Если преобразование определено уравнениями

то искомые уравнения получатся разрешением относительно уравнений

Если фиксировано и описывает все преобразования группы то также описывает группу, называемую преобразованием группы посредством Действительно, в силу закона ассоциативности имеем

В силу интерпретации, которую мы только что рассматривали, эта группа подобна группе

Если преобразование из то эта группа есть сама группа Отсюда следует, что группа, отнесенная к реперу и выражаемая уравнениями (16.2), выражается теми же уравнениями по отношению к реперу Действительно, это будет множеством преобразований тех преобразований, которые можно отождествить с произвольными преобразованиями группы (достаточно взять ).

Это можно сформулировать следующим образом: уравнения группы не меняются при переходе от абсолютных координат к относительным координатам.