4. Изометрия. Полная кривизна.
Две поверхности 
называются изометричными, если можно установить между ними точечное соответствие, сохраняющее длины: 
речь идет, следовательно, о локально взаимно однозначном и взаимно непрерывном соответствии, которое, кроме того, должно быть конформным, ибо оно соответствует случаю 
[формула (3.1) с точностью до обозначений].
Сохраним для 
обозначения, аналогичные (3.2). Отыскание изометричного соответствия сводится к разрешению системы, аналогичной системе 
системе, составленной из трех уравнений только с двумя неизвестными; следовательно, эта задача, вообще говоря, неразрешима; таким образом:
Две заданные поверхности в общем случае не изометричны.
Мы обращаемся теперь к необходимым условиям изометрии. К каждой точке поверхности 
присоединим триэдр первого порядка, такой что
На изометричной поверхности можно поставить в соответствие этому триэдру триэдр первого порядка, такой, что
с формами
Формулы интегрируемости (I, 1.2) напишутся теперь так:
если положить 
то эти два соотношения будут определять 
следовательно, из формул (4.1) вытекает, что
С помощью внешнего дифференцирования получим
откуда
это основной результат, принадлежащий Гауссу:
Две изометричные поверхности в соответствующих точках имеют одну и ту же полную кривизну.
Предыдущие формулы позволяют вычислить полную кривизну линейного элемента 
заданного в общей форме, но мы предпочитаем провести это» вычисление другими методами; сейчас мы ограничимся исследованием некоторых случаев, когда 
задается в специальной форме.
1° Полная кривизна в изотермических координатах. [Если линейный элемент 
задан в виде
то мы положим 
уравнения (4.2) дадут
соотношение (4.4) даст затем
2° Полная кривизна в координатах линий нулевой длины? Если линейный элемент 
задан в виде
то можно принять
откуда следует
отсюда
3° Случай, когда линейный элемент 
задан в виде
Можно принять 
находим
откуда
В случае сферы радиуса 
мы видели, что 
отсюда 
полная кривизна действительной сферы будет положительной константой, равной обратной величине квадрата ее радиуса.
В случае псевдосферы (§ 1) можно принять 
откуда 
полная кривизна псевдосферы равна отрицательной константе.
Наконец, плоскость имеет нулевую полную кривизну; это непосредственно получается, если представить ее линейный элемент 
в одной 
рассмотренных форм.
