4. Изометрия. Полная кривизна.

Две поверхности называются изометричными, если можно установить между ними точечное соответствие, сохраняющее длины: речь идет, следовательно, о локально взаимно однозначном и взаимно непрерывном соответствии, которое, кроме того, должно быть конформным, ибо оно соответствует случаю [формула (3.1) с точностью до обозначений].

Сохраним для обозначения, аналогичные (3.2). Отыскание изометричного соответствия сводится к разрешению системы, аналогичной системе системе, составленной из трех уравнений только с двумя неизвестными; следовательно, эта задача, вообще говоря, неразрешима; таким образом:

Две заданные поверхности в общем случае не изометричны.

Мы обращаемся теперь к необходимым условиям изометрии. К каждой точке поверхности присоединим триэдр первого порядка, такой что

На изометричной поверхности можно поставить в соответствие этому триэдру триэдр первого порядка, такой, что

с формами

Формулы интегрируемости (I, 1.2) напишутся теперь так:

если положить то эти два соотношения будут определять следовательно, из формул (4.1) вытекает, что

С помощью внешнего дифференцирования получим

откуда

это основной результат, принадлежащий Гауссу:

Две изометричные поверхности в соответствующих точках имеют одну и ту же полную кривизну.

Предыдущие формулы позволяют вычислить полную кривизну линейного элемента заданного в общей форме, но мы предпочитаем провести это» вычисление другими методами; сейчас мы ограничимся исследованием некоторых случаев, когда задается в специальной форме.

1° Полная кривизна в изотермических координатах. [Если линейный элемент задан в виде

то мы положим уравнения (4.2) дадут

соотношение (4.4) даст затем

2° Полная кривизна в координатах линий нулевой длины? Если линейный элемент задан в виде

то можно принять

откуда следует

отсюда

3° Случай, когда линейный элемент задан в виде

Можно принять находим

откуда

В случае сферы радиуса мы видели, что отсюда полная кривизна действительной сферы будет положительной константой, равной обратной величине квадрата ее радиуса.

В случае псевдосферы (§ 1) можно принять откуда полная кривизна псевдосферы равна отрицательной константе.

Наконец, плоскость имеет нулевую полную кривизну; это непосредственно получается, если представить ее линейный элемент в одной рассмотренных форм.