4. Приведенные уравнения.

Выберем в качестве начала точку поверхности и в качестве осей оси, определяемые ее репером Френе в этой точке: Найдем первые члены разложения по степеням х и у. Положим

и вспомним, что

Рассмотрим сначала эллиптический случай. Имеем (1.8в)

Прежде всего получаем, что

Из (4.1) находим теперь, что

Дифференцируя вторую строчку в (4.3), имеем

Но, используя соотношения второй и третьей строки в (4.2) и принимая во внимание (4.3) и (4.4), находим, что

это дает

откуда

Наконец,

В начале координат имеем

и формулы (4.2) дают Отсюда получаем сначала

затем

или

что дает приведенную форму

Поступая таким же образом в гиперболическом случае, в тех же обозначениях имеем из

Но на этот раз получаем, что

откуда

Отсюда выводим, что

Мы приходим к приведенной форме

Рассмотрим, наконец, случай линейчатой поверхности. Имеем (2.4)

Мы опять получаем формулы (4.6) и их следствия, кроме двух последних, которые принимают вид

и приведенной формой будет