6. Квадрика Ли.
Среди соприкасающихся квадрик некоторой поверхности в некоторой ее точке одна из них, рассмотренная Ли, представляет особый интерес. Мы сейчас ее определим.
Линейчатая поверхность второго порядка в общем случае вполне определяется тремя прямыми; поэтому возьмем сначала в качестве исходной поверхности линейчатую поверхность. Заданная прямолинейная образующая и две близких образующих определяют квадрику, имеющую предел 
когда две последние образующие стремятся к заданной. Вторая система прямолинейных образующих квадрики 
состоит из прямых, встречающих три бесконечно близких образующих исходной поверхности. Поэтому квадрика 
состоит из прямых, имеющих с поверхностью касание второго порядка, т. е. из прямых, являющихся асимптотическими касательными вдоль рассматриваемой образующей.
Рассмотрим теперь поверхность 
с действительными асимптотическими линиями. Пусть 
асимптотические направления в некоторой точке 
соответствующие асимптотические линии. Рассмотрим некоторую точку 
Прямые 
проведенные через все точки 
на 
, образуют линейчатую поверхность, для которой мы рассмотрим квадрику Ли 
Аналогичным образом можно определить квадрику 
исходя из 
Мы покажем, что квадрики 
совпадают и, таким образом в каждой точке 
на 
будет определена проективно инвариантная квадрика — квадрика Ли.
Возвращаясь к уравнениям 
найдем в заданной точке 
уравнение квадрики 
определенной кривой 
проходящей
через эту точку. Имеем
Так как 
зависит только от одного параметра, то можно положить 
Линейчатая поверхность, образованная асимптотическими касательными 
определена уравнением
где 
— новый параметр. Асимптотическое направление, отличное от направления образующей, определяется уравнением
что дает после приведений
Направление асимптотической касательной в точке 
есть
и поверхность 
имеет параметрическое представление
или, если взять 
за направляющие векторы осей 
что дает уравнение
Заметим, что 
это величина отношения 
на линиях 
Так как 
, то 
является также величиной отношения 
на линиях 
Вторая асимптотическая линия определяет, таким образом, ту же квадрику, что и доказывает сформулированный выше результат.
Мы видим, что квадрика Ли имеет центр на аффинной нормали, что дает другую интерпретацию этого направления.
В случае линейчатой поверхности (в обозначениях § 2) в уравнениях (6.1) 
нужно заменить на 
.
В эллиптическом случае приведенное выше определение квадрики Ли годится только в предположениях аналитичности. Мы введем в дальнейшем другое определение. Здесь же мы ограничимся определением ее в том смысле, что, взяв в качестве осей
можно аналитически привести эллиптический случай к гиперболическому: дело сводится здесь к простому упражнению на замену переменных. При обозначениях 
уравнение поверхности второго порядка Ли в системе координат, определенной 
имеет вид
