10. Изотропные кривые (или минимальные линии).
Нам остается развить теорию изотропных кривых (или минимальных линий), касательные к которым суть изотропные прямые 
а. Если такая кривая не сводится к изотропной прямой, то ее индикатриса касательных будет бесконечно удаленной мнимой окружностью. Отсюда следует, что ее соприкасающаяся плоскость будет изотропной плоскостью, ибо она касается бесконечно удаленной мнимой окружности. Кривая оказывается, таким образом, ребром возврата изотропной развертывающейся поверхности (огибающей однопараметрического семейства изотропных плоскостей). В прямоугольных координатах (х, у, z) такое семейство может быть представлено в виде
Дифференцируя это соотношение 2 раза по 
и разрешая полученные уравнения относительно координат, находим
Это не содержащие квадратур выражения, в которые входит произвольная функция.
b. Циклические триэдры. Прямые, проходящие через некоторую точку и ортогональные изотропной прямой, проходящей через эту точку, образуют плоскость, содержащую саму эту прямую и касающуюся изотропного конуса с вершиной в этой точке. Поэтому невозможно образовать триортогональный триэдр, имеющий изотропное ребро.
Пусть теперь 
изотропный вектор с началом 
выберем в качестве 
другой изотропный вектор с тем же началом, который мы нормируем с помощью условия 
Две касательные плоскости к изотропному конусу с вершиной 
пересекаются по некоторой прямой, на которой мы выберем вектор 
нормированный условием 
. В силу нашего построения мы будем иметь также
Полученный таким образом триэдр называется циклическим; такой триэдр мы и свяжем с каждой точкой изотропной кривой, и его движения мы и будем изучать. Равенство
позволяет ориентировать вектор 
Мы положим
и скажем, что получили прямой циклический триэдр [обратные циклические триэдры получаются приравниванием смешанного произведения (10.2) к 
Выводим отсюда
Напишем также снова определяющие соотношения:
Циклические триэдры зависят от шести параметров: три параметра для определения вершины, один для фиксирования направления 
другой — чтобы фиксировать сам вектор, и один — чтобы фиксировать вектор 
С помощью движения можно перевести заданный прямой циклический триэдр в произвольный прямой циклический триэдр.
Рассмотрим формулы, дающие бесконечно малое перемещение циклического триэдра 
Их можно записать так:
Принимая во внимание постоянство скалярных произведений 
и их значения (10.4), находим
Итак, можно написать
Внешним дифференцированием находим условия интегрируемости 
с. Пусть теперь 
представление изотропной кривой 
. С каждой ее точкой свяжем циклические триэдры, у которых вершины совпадают с этой точкой, а ее вектор 
касательным вектором к кривой 
(триэдры первого порядка). Эти триэдры зависят от двух параметров: один фиксирует координаты 
а другой фиксирует 
Мы получим тогда 
откуда 
содержит только дифференциал 
главного параметра и не содержит дифференциалов вторичных параметров.
Условия интегрируемости дают
Имеем две вторичные компоненты 
как и следовало ржидать.
С помощью внешнего дифференцирования соотношения (10.7) получим
и последняя форма показывает, что, варьируя вторичные параметры, мы получаем
Это значит, что 
умножается на произвольный множитель. Поэтому либо 
либо можно выбрать вторичный параметр таким образом, что 
Избавимся сразу от случая 
. В этом случае редукция не может быть продолжена. Мы имеем 
касательная остается параллельной некоторому фиксированному направлению, и кривая будет изотропной прямой.
Если исключить этот случай, то при замене триэдра 
на 
, а меняется на 
. Таким образом, можно всегда свести дело к случаю 
Тогда (10.7) переходит в
Полученные таким образом триэдры зависят еще от одного параметра, это» триэдры порядка 2; осталась лишь одна вторичная компонента 
Второе уравнение (10.8) превращается в
и (10.6) показывает, что 
или 
Таким образом, мы получаем, инвариантную дифференциальную форму кривой 
[она зависит от второй производной 
]; 
есть дуга, введенная Вессио.
Внешнее дифференцирование соотношения (10.8) дает
откуда для вариации 
по вторичному параметру имеем
Группа, действующая на 
есть группа переносов; 
может принимать любое значение.
Среди триэдров второго порядка мы выделим триэдр Френе (порядка 3), выбирая вторичный параметр таким образом, что 
. Формула (10.9) дает
где 
инвариант, называемый кривизной. Формулы Френе запишутся так:
Задание 
в виде функции от а (натуральное уравнение) определяет изотропную кривую с точностью до перемещения.
d. Что касается вычисления 
и кривизны 
мы имеем сначала из (10.10)
Но
откуда
и
что дает
равенство, определяющее 
с точностью до знака. Для кривизны мы имеем далее
Дифференцируя 2 раза соотношение 
и один раз (10.11), 
легко проверяем, что
откуда
что дает
Выбрав представление изотропной кривой в виде (10.1), находим
Упражнения
(см. скан)
