5. Изометричные поверхности.

Обратимся теперь к задаче определения, будут ли две заданные поверхности и изометричны. Следует различать несколько случаев:

1° Кривизна переменна. Присоединим к каждой точке поверхностей 5 и триортогональный триэдр так, чтобы вектор был касательным к линиям, вдоль которых кривизна К постоянна; имеем

Если поверхности и изометричны, то в соответствующих точках мы должны иметь отсюда

Мы будем различать еще несколько случаев:

а. Нет соотношений между тогда эти величины можно иринять в качестве независимых переменных, и мы будем иметь на поверхности соотношения вида

на поверхности должно быть также

Эти условия, необходимые для изометрии, будут также достаточными. Действительно, мы осуществим изометрию посредством соответствия

так как из этих соотношений получаем сначала -затем соотношения

дают и затем .

b. является функцией от кривизны тогда имеем следовательно, что дает откуда Мы подразделим этот случай на два:

b1. Коэффициент не является функцией от кривизны можно принять и К в качестве независимых переменных и положить

Для того чтобы поверхность была изометрична поверхности необходимо, чтобы

эти условия и достаточны. Изометрия реализуется соответствием

так как отсюда из

следует

Коэффициент является функцией от кривизны Для изометрии необходимо, чтобы эти условия и

достаточны, так как система

вполне интегрируема и каждое решение реализует изометрию. Между поверхностями существует тогда бесконечное множество изометричных соответствий, зависящее от одного параметра. Каждая из этих поверхностей изометрична поверхности вращения. Действительно, положим

из соотношений

получаем

полагая теперь срсо имеем

и, записывая, что получаем в виде

— это та самая форма, которую мы нашли в § 1 для линейного элемента поверхности вращения.

Мы будем называть линейным элементом вращения, если его можно записать в форме, которую мы только что получили [или же если ]; изометрии этих линейных элементов самим себе могут быть сведены к виду

2° Кривизна К постоянна. Условием, необходимым для изометрии, будет равенство оно также достаточно. Действительно, присоединим к каждой точке поверхностей и триэдр первого порядка и рассмотрим систему

она вполне интегрируема; следовательно, изометрии зависят от трех произвольных параметров.

Отсюда непосредственно следует, что поверхность постоянной кривизны допускает трехпараметрическую группу изометричных преобразований, уравнениями структуры которой будут уравнения (5.1).

Сравнивая этот результат с полученными ранее, мы можем сформулировать следующее предложение:

Непрерывную группу изометричных преобразований допускают только следующего вида:

1° линейные элементы вращения, для которых эта группа зависит от одного параметра;

2° линейные элементы постоянной кривизны, для которых она зависит от трех параметров.