9. Срединные линии. Кривые, касательные к которым принадлежат комплексу. Линейные комплексы.

Середины лучей, вообще говоря, зависят от трех параметров, и в некоторой окрестности пространства всякая точка будет серединой некоторого луча комплекса, проходящего через эту точку. Срединными линиями мы будем называть линии, которые в каждой из своих точек в качестве касательной допускают луч, имеющий эту точку своей серединой. Они зависят от двух параметров, и комплекс можно рассматривать как совокупность их касательных. Срединные линии задаются уравнениями

уравнения (8.4) будут тогда формулами Серре-Френе для этой кривой, и мы получим в обычных обозначениях (ориентируя главную нормаль в направлении вектора )

Если то эти линии сводятся к точкам, середины лучей будут зависеть только от двух параметров и будут описывать поверхность.

Оставляя в стороне этот случай (т. е. считая независимыми), рассмотрим комплекс, образованный бинормалями Вид уравнений (8.4) не изменится., если там заменить на и переставить векторы таким образом, будет серединой луча комплекса бинормалей, называемого комплексом, дуальным первому, и имеется взаимность между этими двумя комплексами. Обратно, если задать семейство кривых, зависящее от двух параметров, то оно будет семейством срединных линий, если в уравнениях для перемещений их триэдров, Серре — Френе, задаваемых формулами (I, 1-1), имеем (при условии, что будут независимыми формами). Если же рассматривать вместе с этим семейством также семейство кривых, касательных к их бинормалям, то для кривых каждого семейства, проходящих через одну и ту же точку, соприкасающаяся плоскость одной совпадает с нормальной плоскостью другой.

С более общей точки зрения рассмотрим линии, касательные которых принадлежат комплексу; рассматривая их как геометрическое место точек мы видим, что они задаются уравнениями

имеем тогда

Эти формулы показывают прежде всего, что все линии, проходящие через точку имеют в этой точке одну и ту же соприкасающуюся плоскость: касательную плоскость к конусу комплекса с вершиной в Ориентируя главную нормаль в направлении вектора

находим

Плоские кривые комплекса (огибающие прямых комплекса, расположенные в одной плоскости) будут задаваться уравнениями (9.3) и соотношением

Если речь идет о линейном комплексе, то плоские кривые комплекса сводятся к точкам, и из уравнения (9.5) вытекает, что имеем, следовательно,

и получаем для кручения кривыхлинейного комплекса формулу

Но из соотношения (9.7), которое в силу (9.3) должно быть тождеством, используя соотношения (8.5), находим

Следовательно, форма дифференциал переменной величины будут функциями и мы можем положить

Вернемся к соотношениям (9.8) для кривых, проходящих через неподвижную точку имеем

Таким образом, кривые, касательные которых принадлежат линейному комплексу и которые проходят через одну и ту же точку,

имеют в этой точке одно и то же кручение, равное где х означает параметр вращения луча, для которого эта точка служит серединой.

Впрочем, нетрудно прямо написать уравнения (8.4) для линейного комплекса с осью записывая в обычных обозначениях его уравнение

(где - координаты некоторой точки луча комплекса, а - компоненты вектора, лежащего на луче). Непосредственно находим, что середина луча есть основание общего перпендикуляра этого луча и оси и что асимптотическая плоскость параллельна оси

Рис. 43.

Снабжая теперь точку пространства цилиндрическими координатами имеем

кроме того, в силу (9.9) имеем

где

отсюда окончательно

Имеем параметр вращения зависит, что вполне естественно, только от расстояния этой прямой от оси комплекса; срединные линии будут, очевидно, винтовыми линиями круглого цилиндра.