5. Соприкасающиеся квадрики. Касательные Дарбу.

В эллиптическом случае направления векторов и будут сопряженными направлениями, которые мы уточним позднее, в гиперболическом случае они будут асимптотическими направлениями, и в случае линейчатых поверхностей, отличных от поверхностей второго порядка и не развертывающихся, направление вектора совпадает с направлением прямолинейной образующей.

В точке поверхности можно найти множество соприкасающихся квадрик, зависящих от трех параметров и имеющих с поверхностью касание не ниже второго порядка, причем, вообще говоря, не существует квадрик, имеющих касание не ниже третьего порядка. Имея приведенные уравнения, легко получить множество соприкасающихся квадрик.

В эллиптическом случае, например, это поверхности

и мы имеем в окрестности начала координат

Так как для квадрик , то для тех из них, которые имеют ту же аффинную нормаль, что и наша поверхность, должно быть

они характеризуются условием Они зависят еще от одного параметра и имеют уравнение

Мы видим, в частности, что их аффинная нормаль имеет направление диаметров соприкасающегося параболоида.

Из приведенной формы мы видим, что в общем случае линия пересечения квадрики с нашей поверхностью имеет тройную точку в начале координат, где касательные к ней определяются уравнением

Найдем условие для того, чтобы эти касательные совпадали. Если положить то это уравнение принимает вид

Записав, что две его первые производные по обращаются в нуль, получаем

Отсюда, в частности, следует, что

Три возможных направления тройной касательной, определяющие касательные Дарбу в рассматриваемой точке и проективно инвариантные в силу их определения, даются, таким образом (с точностью до ), углами

Они обращают в нуль форму третьей степени Можно также сказать, что это будут направления касательных к линии пересечения поверхности с квадрикой что дает новую интерпретацию аффинной нормали.

Три семейства линий Дарбу, т. е. линий, касающихся в каждой своей точке некоторой касательной Дарбу, являются интегралами уравнения

Рассмотрим направление (для других можно провести аналогичные рассуждения). Написанные выше уравнения дают

Геометрическим местом центров этих квадрик будет прямая откуда мы получаем интерпретацию осей репера Френе.

В случае гиперболической точки можно провести аналогичные рассуждения. Соприкасающиеся квадрики имеют уравнение

Те из них, которые имеют с поверхностью общую аффинную нор» маль, определяются уравнением

Касательные Дарбу, из которых только одна действительна, задаются уравнением

линии Дарбу представляют собой интегралы уравнения

Для линейчатых поверхностей уравнения соприкасающихся квадрик имеют форму в силу касательные Дарбу сливаются и имеют направление прямолинейной образующей.

Точки, где существуют сверхсоприкасающиеся квадрики, имеющие касание не ниже третьего порядка с рассматриваемой поверхностью, — это точки, в которых . В такой точке имеется бесчисленное множество сверхсоприкасающихся квадрик, определяемых уравнением или Если такая квадрика существует в каждой точке, то рассматриваемая поверхность сама является квадрикой, так как тогда К — тождественный нуль. Что касается линейчатых поверхностей, то существование сверхсоприкасающейся квадрики в некоторой точке несовместимо с фактом возможности нормировки триэдра Френе соответствующими уравнениями; поэтому линейчатая поверхность, допускающая сверхсоприкасающуюся квадрику в каждой точке, также будет квадрикой.