19. Группа движений.

Это группа определяемая в пространстве уравнениями

где и параметры, причем таковы, что матрица ортогональна и нормирована, т. е.

и, кроме того,

Мы видим, что матрица, обратная матрице скажем матрица Дудет транспонированной из нее матрицей: это позволяет

выписать преобразование, обратное к преобразованию (19.1) в виде:

Другое следствие из соотношений (19.2) состоит в том, что условие (19.3) сводится к исключению из преобразований (19.1) тех, для которых и которые вместе с движениями образуют новую группу (с двумя связными компонентами), а именно группу движений и движений с преобразованиями симметрии. Число параметров равно соотношений (19.2) имеется Следовательно, группа зависит от параметров.

Всякое движение является гомеоморфизмом пространства пространство в котором мы воздержимся от других преобразований, кроме движений, или, как говорят, пространство снабженное структурой группы движений, называется эвклидовым метрическим пространством Группа действует транзитивно на точках, а также на линейных подпространствах одной и той же размерности.

Два геометрических объекта, таких, что можно перейти от одного к другому с помощью преобразования этой группы, называются равными.

На множестве геометрических объектов, состоящих из точек, группа не действует транзитивно; существует, следовательно, по крайней мере один инвариант пары точек (с точностью до функции); легко показать, что такой инвариант только один и что для пары точек он является функцией от

Величина является расстоянием между двумя точками. Как мы видели, расстояние дает возможность определить топологию в (для произвольно фиксированного множество сфер радиуса образует класс объектов, эквивалентных точкам). Множество движений, оставляющих одну точку неподвижной, образует группу называемую группой вращений вокруг этой точки; для вращений вокруг начала координат эта группа состоит из преобразований (19.1) с эта группа непрерывна.

Определим подгруппу, оставляющую неподвижной прямую. Мы можем выбрать в качестве этой прямой ось последнее из уравнений (19.1) сводится в этом случае, в силу условий (19.2), к

а первых уравнений (19.1) определяют ортогональное и нормированное, преобразование в пространстве Множество этих преобразований будет в группой движений и движений вместе с симметрией; оно не связно. Мы приходим к определению нового геометрического объекта: ориентированной прямой, или оси, причем каждая прямая является носителем двух осей, из которых каждая остается инвариантной относительно группы, изоморфной Семейство реперов, присоединенных к оси, которую мы будем называть положительной (другая будет называться отрицательной), — это семейство, получаемое из основного репера ространства операциями предыдущей группы. Множество реперов,

симметричных к предыдущим (получаемых преобразованием будет семейством реперов, присоединенных к отрицательной оси. Положительная ось называется осью она может быть определена также с помощью двух точек с заданным взятых именно в этом порядке; первая из них называется началом, вторая концом. Множество преобразований рассматриваемой группы преобразует их в новый объект: произвольно). Мы получаем таким образом новый объект, который назовем скользящим вектором длины и той же ориентации, что и ось.

Рассмотрим теперь две точки, взятые в порядке где на этот раз отрицательно; мы скажем, что они определяют скользящий вектор на прямой длины и ориентации, противоположной, ориентации оси

Преобразования сохраняющие скользящие векторы на прямой образуют группу с одним параметром группу переносов параллельно прямой

Рассмотрим теперь множество прямых

Движения, сохраняющие это множество, образуют группу, являющуюся произведением группы преобразований (19.4) на Геометрический объект (19.5) называется направлением прямой (в частности, направлением прямой Прямые (19.5) называются параллельными. Связная группа — произведение группы преобразований на — преобразует ось, лежащую на прямой (например, положительную ось), в ось, лежащую на прямой (19.5), причем мы говорим, что эта ось имеет ту же ориентацию, что и ось, выбранная нами на прямой

Рассмотрим также скользящий вектор на прямой предыдущая группа преобразует его в скользящий вектор той же длины и той же ориентации на произвольной прямой (19.5). Геометрическое понятие, определенное таким образом, называется свободным вектором. Он определяется своей ориентацией и своей длиной; аналитически он определяется разностями координат его конца и начала

которые называются его компонентами. Совокупность движений, сохраняющих множество всех свободных векторов, есть группа

называемая группой переносов (операция группы называется параллельным переносом).

Совокупность двух точек взятых в этом порядке, например

сохраняется группой, изоморфной группе Это геометрическое понятие называется связанным вектором с началом х и концом х. Связанный вектор определяет свободный вектор. Два связанных вектора, принадлежащих одному и тому же свободному вектору, называются эквивалентными.

Движения, оставляющие неподвижной плоскость, например плоскость состоят из движений группы и движений группы комбинируемых с симметрией Они образуют группу, которая не

будет связной. Следовательно, можно рассматривать плоскость как носитель двух ориентированных плоскостей.

Множество плоскостей где произвольная постоянная, инвариантно относительно произведения преобразований предыдущей группы на переносы Эти плоскости называются параллельными, а объект, который этим определяется, называется направлением плоскости

Мы не будем больше останавливаться на преобразованиях, сохраняющих линейные многообразия.

Рассмотрим теперь множество пар пересекающихся прямых. Так как группа не действует транзитивно на этом множестве, то существует инвариант пары пересекающихся прямых (наиболее обычный — квадрат тангенса их угла, определяемого с точностью до знака и с точностью до для ).

В случае двух пересекающихся осей положение вещей такое же, и существует инвариант двух осей, обычно — косинус угла между ними.

Используя понятия параллельных прямых или параллельных осей, можно обобщить предыдущие понятия и говорить об угле между двумя осями (заключенном между нулем и при этом порядок, в котором задаются эти оси, не имеет значения.

Пусть свободный вектор с компонентами свободный вектор с компонентами будет обозначаться и эта операция называется умножением на скаляр Вектор называется противоположным к Это понятие лишено смысла для ; мы придадим ему смысл, условившись, что две совпадающие точки также определяют свободный вектор, а именно нулевой вектор (или просто 0), и будем писать Нулевой вектор не имеет ориентации. Тем не менее в некоторых случаях приходится приписывать ему некоторую ориентацию, которую можно выбрать произвольно.

Если заданы два свободных вектора то свободный вектор где называют их геометрической суммой и пишут Эта операция называется сложением векторов. Сложение коммутативно и ассоциативно; умножение на скаляр дистрибутивно относительно сложения. Для вектора решения уравнения имеем, как это непосредственно видно, равенство, которое записывается в виде Таким образом определяется вычитание — операция, обратная сложению.

Если вектор длины 1, лежащий на оси то, как легко видеть,

Квадрат длины вектора равен

Для произвольно заданных эта величина инвариантна относительно всех преобразований из так как 2 и 2 также инвариантны, то отсюда следует, что величина

есть инвариант совокупности двух векторов Его называют скалярным произведением этих векторов и пишут

Это выражение показывает, что скалярное умножение коммутативно,

Поскольку оно билинейно по оно дистрибутивно относительно сложения:

и если означает скаляр, то

Если произведение равно нулю, векторы называются ортогональными, или перпендикулярными, друг другу. Из (19.8) следует, что в этом случае два любых вектора, направления которых совпадают с направлениями также ортогональны. Направления прямой или определяющие их ориентации осей будут тогда также называться ортогональными (или перпендикулярными).

Репер составленный из осей образован попарно ортогональными осями; то же самое справедливо относительно реперов полученных из преобразованием из группы Кроме указанных, реперами с попарно ортогональными осями будут только те реперы, которые получаются из реперов о симметрией.

Заметим также, что если обозначить через длину вектора то скалярное произведение которое записывается в виде равно Наконец, в силу (19.8), величина

не меняется, если заменить на соответственно, где Эта величина будет, таким образом, инвариантом совокупности двух направлений осей, определяемых векторами Это — косинус угла между ними

В заключение рассмотрим пример другого рода.

Пусть неприводимый многочлен. Тогда уравнение

определяет, вообще говоря, многообразие, и легко показать, что степень этого многочлена остается неизменной при любом преобразовании группы Это первый инвариант, связанный с многообразием. Что касается отыскания других инвариантов, то мы ограничимся случаем, когда степень равна 2; многообразие называется тогда многообразием второго порядка, или квадрикой. Мы знаем, что в этом случае можно записать в форме суммы

не более квадратов линейно независимых многочленов первого порядка (при этом число также рассматривается как линейный многочлен), из которых взято со знаком а остальные со знаком Два числа суть инварианты, которые геометрически интерпретируют как инварианты квадрики (род квадрики). В том частном случае, когда уравнение квадрики можно привести к виду

где форма, имеющая вид суммы взятых со знаком квадратов линейно независимых форм, квадрика будет эллипсоидом. В этом случае можно показать, что существует по крайней мере один репер, в котором уравнение эллипсоида имеет вид

где положительные константы, образующие систему инвариантов эллипсоида (длины полуосей).

Группа подобий. Комбинируя операции группы с преобразованиями где означает параметр, отличный от нуля мы получаем новую группу, называемую группой подобий (для это группа элементарной геометрии).

Два объекта, такие, что можно перейти от одного к другому преобразованием этой группы, называются подобными. При таком преобразовании две точки, лежащие на расстоянии друг от друга, переходят в две точки, лежащие на расстоянии друг от друга, а углы не меняются