Главная > Курс локальной дифференциальной геометрии
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

19. Группа движений.

Это группа определяемая в пространстве уравнениями

где и параметры, причем таковы, что матрица ортогональна и нормирована, т. е.

и, кроме того,

Мы видим, что матрица, обратная матрице скажем матрица Дудет транспонированной из нее матрицей: это позволяет

выписать преобразование, обратное к преобразованию (19.1) в виде:

Другое следствие из соотношений (19.2) состоит в том, что условие (19.3) сводится к исключению из преобразований (19.1) тех, для которых и которые вместе с движениями образуют новую группу (с двумя связными компонентами), а именно группу движений и движений с преобразованиями симметрии. Число параметров равно соотношений (19.2) имеется Следовательно, группа зависит от параметров.

Всякое движение является гомеоморфизмом пространства пространство в котором мы воздержимся от других преобразований, кроме движений, или, как говорят, пространство снабженное структурой группы движений, называется эвклидовым метрическим пространством Группа действует транзитивно на точках, а также на линейных подпространствах одной и той же размерности.

Два геометрических объекта, таких, что можно перейти от одного к другому с помощью преобразования этой группы, называются равными.

На множестве геометрических объектов, состоящих из точек, группа не действует транзитивно; существует, следовательно, по крайней мере один инвариант пары точек (с точностью до функции); легко показать, что такой инвариант только один и что для пары точек он является функцией от

Величина является расстоянием между двумя точками. Как мы видели, расстояние дает возможность определить топологию в (для произвольно фиксированного множество сфер радиуса образует класс объектов, эквивалентных точкам). Множество движений, оставляющих одну точку неподвижной, образует группу называемую группой вращений вокруг этой точки; для вращений вокруг начала координат эта группа состоит из преобразований (19.1) с эта группа непрерывна.

Определим подгруппу, оставляющую неподвижной прямую. Мы можем выбрать в качестве этой прямой ось последнее из уравнений (19.1) сводится в этом случае, в силу условий (19.2), к

а первых уравнений (19.1) определяют ортогональное и нормированное, преобразование в пространстве Множество этих преобразований будет в группой движений и движений вместе с симметрией; оно не связно. Мы приходим к определению нового геометрического объекта: ориентированной прямой, или оси, причем каждая прямая является носителем двух осей, из которых каждая остается инвариантной относительно группы, изоморфной Семейство реперов, присоединенных к оси, которую мы будем называть положительной (другая будет называться отрицательной), — это семейство, получаемое из основного репера ространства операциями предыдущей группы. Множество реперов,

симметричных к предыдущим (получаемых преобразованием будет семейством реперов, присоединенных к отрицательной оси. Положительная ось называется осью она может быть определена также с помощью двух точек с заданным взятых именно в этом порядке; первая из них называется началом, вторая концом. Множество преобразований рассматриваемой группы преобразует их в новый объект: произвольно). Мы получаем таким образом новый объект, который назовем скользящим вектором длины и той же ориентации, что и ось.

Рассмотрим теперь две точки, взятые в порядке где на этот раз отрицательно; мы скажем, что они определяют скользящий вектор на прямой длины и ориентации, противоположной, ориентации оси

Преобразования сохраняющие скользящие векторы на прямой образуют группу с одним параметром группу переносов параллельно прямой

Рассмотрим теперь множество прямых

Движения, сохраняющие это множество, образуют группу, являющуюся произведением группы преобразований (19.4) на Геометрический объект (19.5) называется направлением прямой (в частности, направлением прямой Прямые (19.5) называются параллельными. Связная группа — произведение группы преобразований на — преобразует ось, лежащую на прямой (например, положительную ось), в ось, лежащую на прямой (19.5), причем мы говорим, что эта ось имеет ту же ориентацию, что и ось, выбранная нами на прямой

Рассмотрим также скользящий вектор на прямой предыдущая группа преобразует его в скользящий вектор той же длины и той же ориентации на произвольной прямой (19.5). Геометрическое понятие, определенное таким образом, называется свободным вектором. Он определяется своей ориентацией и своей длиной; аналитически он определяется разностями координат его конца и начала

которые называются его компонентами. Совокупность движений, сохраняющих множество всех свободных векторов, есть группа

называемая группой переносов (операция группы называется параллельным переносом).

Совокупность двух точек взятых в этом порядке, например

сохраняется группой, изоморфной группе Это геометрическое понятие называется связанным вектором с началом х и концом х. Связанный вектор определяет свободный вектор. Два связанных вектора, принадлежащих одному и тому же свободному вектору, называются эквивалентными.

Движения, оставляющие неподвижной плоскость, например плоскость состоят из движений группы и движений группы комбинируемых с симметрией Они образуют группу, которая не

будет связной. Следовательно, можно рассматривать плоскость как носитель двух ориентированных плоскостей.

Множество плоскостей где произвольная постоянная, инвариантно относительно произведения преобразований предыдущей группы на переносы Эти плоскости называются параллельными, а объект, который этим определяется, называется направлением плоскости

Мы не будем больше останавливаться на преобразованиях, сохраняющих линейные многообразия.

Рассмотрим теперь множество пар пересекающихся прямых. Так как группа не действует транзитивно на этом множестве, то существует инвариант пары пересекающихся прямых (наиболее обычный — квадрат тангенса их угла, определяемого с точностью до знака и с точностью до для ).

В случае двух пересекающихся осей положение вещей такое же, и существует инвариант двух осей, обычно — косинус угла между ними.

Используя понятия параллельных прямых или параллельных осей, можно обобщить предыдущие понятия и говорить об угле между двумя осями (заключенном между нулем и при этом порядок, в котором задаются эти оси, не имеет значения.

Пусть свободный вектор с компонентами свободный вектор с компонентами будет обозначаться и эта операция называется умножением на скаляр Вектор называется противоположным к Это понятие лишено смысла для ; мы придадим ему смысл, условившись, что две совпадающие точки также определяют свободный вектор, а именно нулевой вектор (или просто 0), и будем писать Нулевой вектор не имеет ориентации. Тем не менее в некоторых случаях приходится приписывать ему некоторую ориентацию, которую можно выбрать произвольно.

Если заданы два свободных вектора то свободный вектор где называют их геометрической суммой и пишут Эта операция называется сложением векторов. Сложение коммутативно и ассоциативно; умножение на скаляр дистрибутивно относительно сложения. Для вектора решения уравнения имеем, как это непосредственно видно, равенство, которое записывается в виде Таким образом определяется вычитание — операция, обратная сложению.

Если вектор длины 1, лежащий на оси то, как легко видеть,

Квадрат длины вектора равен

Для произвольно заданных эта величина инвариантна относительно всех преобразований из так как 2 и 2 также инвариантны, то отсюда следует, что величина

есть инвариант совокупности двух векторов Его называют скалярным произведением этих векторов и пишут

Это выражение показывает, что скалярное умножение коммутативно,

Поскольку оно билинейно по оно дистрибутивно относительно сложения:

и если означает скаляр, то

Если произведение равно нулю, векторы называются ортогональными, или перпендикулярными, друг другу. Из (19.8) следует, что в этом случае два любых вектора, направления которых совпадают с направлениями также ортогональны. Направления прямой или определяющие их ориентации осей будут тогда также называться ортогональными (или перпендикулярными).

Репер составленный из осей образован попарно ортогональными осями; то же самое справедливо относительно реперов полученных из преобразованием из группы Кроме указанных, реперами с попарно ортогональными осями будут только те реперы, которые получаются из реперов о симметрией.

Заметим также, что если обозначить через длину вектора то скалярное произведение которое записывается в виде равно Наконец, в силу (19.8), величина

не меняется, если заменить на соответственно, где Эта величина будет, таким образом, инвариантом совокупности двух направлений осей, определяемых векторами Это — косинус угла между ними

В заключение рассмотрим пример другого рода.

Пусть неприводимый многочлен. Тогда уравнение

определяет, вообще говоря, многообразие, и легко показать, что степень этого многочлена остается неизменной при любом преобразовании группы Это первый инвариант, связанный с многообразием. Что касается отыскания других инвариантов, то мы ограничимся случаем, когда степень равна 2; многообразие называется тогда многообразием второго порядка, или квадрикой. Мы знаем, что в этом случае можно записать в форме суммы

не более квадратов линейно независимых многочленов первого порядка (при этом число также рассматривается как линейный многочлен), из которых взято со знаком а остальные со знаком Два числа суть инварианты, которые геометрически интерпретируют как инварианты квадрики (род квадрики). В том частном случае, когда уравнение квадрики можно привести к виду

где форма, имеющая вид суммы взятых со знаком квадратов линейно независимых форм, квадрика будет эллипсоидом. В этом случае можно показать, что существует по крайней мере один репер, в котором уравнение эллипсоида имеет вид

где положительные константы, образующие систему инвариантов эллипсоида (длины полуосей).

Группа подобий. Комбинируя операции группы с преобразованиями где означает параметр, отличный от нуля мы получаем новую группу, называемую группой подобий (для это группа элементарной геометрии).

Два объекта, такие, что можно перейти от одного к другому преобразованием этой группы, называются подобными. При таком преобразовании две точки, лежащие на расстоянии друг от друга, переходят в две точки, лежащие на расстоянии друг от друга, а углы не меняются

1
Оглавление
email@scask.ru