3. Огибающие поверхностей, зависящих от одного параметра.

Рассмотрим семейство поверхностей

зависящее от одного параметра Чтобы некоторая поверхность касалась каждой поверхности в некоторой окрестности значений X, очевидно, необходимо, чтобы касание имело место вдоль некоторой кривой. Мы назовем огибающей семейства совокупность поверхностей касающихся каждой поверхности для некоторой окрестности значения X вдоль кривой называемой.

характеристической кривой (или характеристикой) на которая, как и непрерывно изменяется вместе с

а. Общие результаты. Мы предположим, что имеет непрерывные частные производные по Координаты точки на должны удовлетворять уравнению (3.1) и уравнению

если обыкновенная точка на

Рис. 21.

Действительно, если (3.2) не имеет места, то уравнение (3.1) можно разрешить относительно X и в некоторой окрестности этой точки написать

где имеет непрерывные частные производные, причем, например, (если ).

Сделаем замену переменных

Мы имеем в окрестности рассматриваемой точки.

Преобразование будет взаимно однозначным и сохраняет касание в этой окрестности. Семейство преобразуется в семейство плоскостей и вторая основная теорема показывает» что это семейство не имеет огибающей.

Огибающая может быть расположена только в множестве точек, где не имеет непрерывных производных, или в множестве

или в множестве

Множество есть в общем случае геометрическое место особых (не обыкновенных) точек поверхностей и в обычных случаях не является частью огибающей.

Множество содержит множество точек или кривых, общих всем поверхностям . В зависимости от принятой точки зрения

можно их рассматривать как составляющие часть огибающей или нет.

Рассмотрим точку из не принадлежащую и допустим, что в окрестности этой точки допускает непрерывные частные производные и что

[откуда вытекает, в частности, неравенство т. е. точка обыкновенная на ]. Система определяет в окрестности точки (х, у, z) поверхность которая, если, например, предположить, что

может быть параметризована с помощью , скажем, в виде

Исходя из уравнений с помощью дифференцирования получаем

Так как

мы видим, что при условии и

имеет место неравенство

т. е. точка является обыкновенной на и два уравнения первой строчки из (3.3) показывают, что два вектора

определяющие касательную плоскость к касаются Итак, мы действительно имеем касание в этой точке, и поверхность составляет часть огибающей поверхностей Она касается вдоль кривой определенной уравнениями и имеющей в

обыкновенную точку. Итак:

В окрестности всякой точки множества для которой

система (S) определяет поверхность огибающую поверхностей семейства Касание имеет место вдоль характеристической кривой и точка на ней, обыкновенная на также является обыкновенной на и на

Как и для огибающих плоских кривых, можно показать, что характеристическая кривая является в этом случае (в окрестности точки ) пределом одной единственной кривой, общей для и кгда стремится к нулю. Допущение, что приводит также в некоторых случаях к касанию порядка 2.

Мы видим также, что поверхности, определенные уравнением полученным исключением X в системе заключают огибающую, геометрическое место особых точек и стационарные поверхности.

Замечания. Чтобы отыскать огибающую однопараметрического семейства поверхностей, Определенного уравнениями

нужно, как легко видеть, присоединить к этой системе уравнение

Наконец, если семейство задано параметрически с помощью вектор-функции кривая будет дана соотношением и огибающая будет определена параметрами Чтобы отыскать положение огибающей, нужно записать, что касательные плоскости к поверхностям совпадают. Но касательная плоскость к определена векторами

Первый из них лежит в касательной плоскости к определенной векторами . Для того чтобы второй также лежал в ней, нужно, следовательно, чтобы

Ь. Примеры. 1. Огибающие плоскостей. Пусть дано семействэ плоскостей, зависящих от параметра

Его огибающую получаем, присоединяя к этому уравнению соотношение

представляющее точно так же плоскость. Характеристической кривой будет, таким образом, прямая, огибающей же будет линейчатая поверхность, называемая развертывающейся поверхностью. Мы вернемся далее к этому вопросу (§ 5).

2. Огибающая сфер. Пусть дано семейство сфер, зависящих от одного параметра с радиусом и центрами 5, описывающими кривую Если обозначает текущую точку сферы, то имеем векторное уравнение

Характеристическая кривая есть пересечение сферы с плоскостью

значит, это — окружность, ось которой касательна к геометрическому месту точек Эта окружность может быть действительной или мнимой и может сводиться к точке; с действительной точки зрения огибающая имеется только в первом случае, когда эта окружность действительная. Если постоянно характеристической окружностью будет окружность большого круга сферы, расположенного в нормальной плоскости к кривой плоскости, которая нормальна и к огибающей вдоль этой окружности. Огибающая называется каналовой поверхностью.

В случае, когда характеристическая окружность сводится все время к точке, возьмем в качестве параметра криволинейную абсциссу геометрического места центров. Как и в случае плоскости, мы видим, что можно взять Обозначая через координаты точки мы видим, что приведенные выше уравнения запишутся в виде

Единственной действительной точкой характеристической окружности будет точка

Геометрическое место этих точек есть эвольвента кривой Мы находим, с другой стороны, из предыдущих уравнений

так что прикосновение между и сферой семейства, проходящей через имеет, вообще говоря, порядок 2. Можно проверить, что вдоль всей кривой ни одно из условий (3.4) не выполняется.