11. Проективная наложимость.
Из многочисленных проблем проективно-дифференциальной геометрии поверхностей мы рассмотрим только одну, а именно, проблему проективной наложимости, относительно которой мы дадим краткие указания. Рассмотрим две поверхности 
и точечное соответствие, устанавливаемое, например, сопоставлением точке 
точки 
с теми же значениями параметров. Возьмем два репера третьего порядка и 
в двух соответствующих точках и переведем посредством томографии репер 
в репер поскольку приведенные уравнения обеих поверхностей будут иметь вид
(мы примем во внимание уравнения (9.1), делая там приведения (8.3)], то они будут иметь касание третьего порядка. Посмотрим теперь, при каких условиях можно найти такое соответствие, чтобы отвечающие друг другу точки поверхностей 
близкие к точкам 
имели бы одни и те же координаты по» отношению к реперу 
с точностью до бесконечно малых второго порядка, причем чтобы это было верно при всяком выборе реперов и 
и для всякой пары отвечающих друг другу точек.
Вернемся к уравнениям (9.1) для поверхности 
Они напишутся, если отбросить члены второго порядка, в виде
Для того чтобы
необходимо и достаточно, чтобы
При этом условии рассматриваемое соответствие будет проективным наложением, и две поверхности 
будут называться проективно наложимыми, если указанное обстоятельство будет иметь место в каждой паре соответствующих точек, т. е. если
так что инвариантные линейные дифференциальные формы рассматриваемых поверхностей должны быть равны друг другу.
Но в репере четвертого порядка мы имеем
так как, очевидно, соотношения (11.2) влекут за собой равенства 
то из полученных равенств вытекает, что
инварианты четвертого порядка поверхностей 
в соответствующих точках будут, следовательно, равны 
сверх того, имеем 
. Переведем теперь посредством томографии репер 
в силу равенств (9.3) и (11.3), поверхности будут иметь касание четвертого порядка. Вернемся, наконец, к уравнениям (9.1), продифференцируем их и положим 
мы получим
и два других аналогичных соотношения (здесь дифференциал 
надо рассматривать алгебраически). Эти равенства и предыдущие соотношения показывают теперь, что
расстояние между двумя соответствующими точками поверхностей 
будет теперь по крайней мере третьего порядка малости.
Обратно, предположим, что между двумя поверхностями 5 и можно установить такое соответствие, что будет существовать томография, переводящая точку 
в ее образ 
и соответствующие точки, близкие к точкам 
будут иметь расстояние по крайней мере третьего порядка малости; мы покажем, что это соответствие будет проективным наложением.
Действительно, рассмотрим репер 
тогда для определения 
имеем уравнения (11.1) и (11.4). Если перевести 
и оперировать в том же репере, то уравнения (9.1) для форм со звездочками и получаемые из них дифференцированием дадут нам 
Равенства 
дадут сначала
Равенства 
дадут затем
Поскольку формы 
линейно независимы, отсюда получаем
Из равенств 
с помощью уравнений (8.2) и таких же: уравнений со звездочками получаем
отсюда выводим без труда, что
Эти формулы показывают, что репер будет репером третьего порядка для поверхности 
в точке 
. Но мы видели, что инвариантные линейные дифференциальные формы определяются реперами третьего» порядка; формы 
будут таковыми для поверхности 
в силу (11.6), рассматриваемое соответствие между поверхностями 
будет конечно, проективным наложением.
Следуя Фубини, проективной дугой поверхности 
(не линейчатой) называют выражение
Если поверхности 
наложимы, то, очевидно, 
обратноег тоже верно; действительно, предположим, что
поскольку формы 
с одной стороны, 
с другой, независимы и при 
или 
левая часть становится бесконечной, отсюда следует, что 
должны быть соответственно пропорциональны формам 
или 
возможная замена обозначений позволяет предположить, что будет иметь место первая альтернатива. Вышестоящее равенство» показывает тогда, что
где 
означает кубичный корень из единицы. Отправляясь теперь от репера третьего порядка и заменяя 
на 
на 
мы видим, что новый. репер будет тоже репером третьего порядка; следовательно, можно сделать так, чтобы
и чтобы две поверхности действительно были проективно наложимы.
В противоположность тому, что происходит в эвклидовой геометрии, где существует бесконечное множество поверхностей, наложимых на данную поверхность, в проективной геометрии произвольная поверхность вообще
иеизгибаема. Можно показать, что проективно изгибаемые поверхности зависят от шести произвольных функций. Действительно, записывая условия интегрируемости системы 
найдем, что инварианты, вообще говоря, определяются формами 
т. е. что поверхность в общем случае определяется заданием этих двух форм или, иначе, двух основных форм Фубини
случай проективно изгибаемых поверхностей имеет место тогда, когда этот результат неверен.
Упражнения
(см. скан)
