Глава II. ДОПОЛНЕНИЕ К АЛГЕБРЕ. ТЕНЗОРЫ

1. Векторное центро-аффинное пространство Сn.

Мы видели (1,22), что в точке многообразия основным объектом дифференциальной геометрии является касательное центро-аффинное пространство. В этом пространстве группа индуцирует центро-аффинную структуру группу аффинных преобразований, оставляющих неподвижным начало.

Можно отождествить это пространство с пространством свободных контравариантных векторов пространства условившись брать в качестве представителя свободного вектора вектор, который проходит через начало координат.

Мы ввели (1,19) понятия суммы двух свободных векторов, нулевого вектора, вектора, противоположного данному вектору, придав тем самым пространству структуру абелевой группы (операция обозначается знаком затем ввели понятие умножения вектора на число. Совокупность этих двух операций придает пространству структуру, называемую векторным пространством.

Мы видели, кроме того (1.20), что законы преобразований координат свободного контравариантного вектора (точки пространства отличны от законов преобразования координат свободного ковариантного вектора (плоскости пространства не проходящей через начало).

Мы сначала вернемся к этим понятиям, чтобы далее развить их.

Векторы, или контравариантные векторы, или точки пространства будут обозначаться буквами контравариантных векторов называются линейно независимыми, если

В пространстве любые контравариантных векторов всегда линейно зависимы, но существуют системы линейно независимых контравариантных векторов, называемых базисными. Пусть одна из этих систем, произвольный контравариантный вектор; тогда существуют числа (определяемые единственным образом), которые называются координатами вектора х,

такие, что

Если для задания х мы берем другой базис, то

или

где алгебраическое дополнение элемента

Преобразования (1.2) образуют группу называемую центро-аффинной группой. Полагая

мы получаем

Переходя к ковариантным векторам, мы определим сначала сумму двух векторов и умножение вектора на скаляр.

Пусть х и у — два ковариантных непараллельных вектора (рис. 9), определенных плоскостями Плоскости параллельные соответственно и проходящие через начало О, пересекают соответственно по многообразиям размерности Многообразия определяют поэтому плоскость и, следовательно, ковариантный вектор называемый суммой ковариантных векторов х и у,

Рассмотрим теперь два параллельных вектора х и у, определенные плоскостями Прямая, проходящая через начало О, пересекает их в точках Отношение не зависит

от выбранной прямой; это по определению есть отношение у к

Отсюда легко определить произведение ковариантного вектора на скаляр и сумму двух параллельных ковариантных векторов.

Добавим к совокупности ковариантных векторов нулевой ковариантный вектор о, состоящий из одной произвольной плоскости, проходящей через начало; второй же плоскости он не имеет (или, как иногда говорят, она находится в бесконечности).

Введенные операции обладают свойствами операций с тем же названием, определенных для контравариантных векторов.

Рис. 9.

В Cn любые ковариантных векторов всегда линейно зависимы. Существуют системы линейно независимых векторов или базлсы, например система векторов (рис. 9), где вектор, определенный плоскостью, проходящей через конец вектора и параллельной векторам

Этот базис называется дуальным к базису Всякий ковариантный вектор и может быть записан (единственным способом) в виде

числа называются координатами ковариантного вектора; этот вектор определяется плоскостью

Чтобы получить закон преобразования базиса в базис дуальный для мы напишем

откуда

и

Ковариантному вектору поставим в соответствие контравариантный вектор пространства и вектору а — контравариантный вектор и, определяемый равенством

затем преобразованию (1.7) поставим в соответствие в замену базиса

полагая без труда видим, что определяется преобразованием (1.6).

Итак, если пространству поставить в соответствие пространство условившись, что всякому преобразованию (1.2) первого соответствует преобразование (1.2 в то всякому ковариантному (контравариантному) вектору пространства будет взаимно однозначно соответствовать контравариантный (ковариантный) вектор пространства Пространство называется дуальным к . В пространстве дуальном к преобразованию (1.2) соответствует преобразование

которое с точностью до обозначений совпадает с заменой базиса (1.2). Всякому контравариантному (ковариантному) вектору взаимно однозначно соответствует контравариантный (ковариантный) вектор пространства имеющий те же координаты. Следовательно, мы можем условиться отождествлять пространства