2. Формулы Серре-Френе.
Рассмотрим в прямоугольной системе координат кривую Г:
где 
имеет непрерывные производные до достаточно высокого порядка (для определенности до порядка 4), в сегменте 
Выберем направление обхода на кривой, - например, направление возрастания значений параметра 
. С каждой точкой 
мы свяжем триэдры, называемые триэдрами первого порядка, имеющие началом эту точку и первой осью направление единичного вектора 
ориентированной полукасательной в точке 
Таким образом, мы имеем 
Тогда 
не зависит более ни от какого вторичного параметра, это инвариантная дифференциальная форма кривой 
Так как 
зависит только от одной переменной, это точный дифференциал: 
Два последних уравнения (1.2) дают
Остался только один вторичный параметр 
соответствующий форме 
(который выражает, что триэдры первого порядка определены с точностью до вращений вокруг касательной); 
будут функциями и и вторичного параметра.
Из (2.1) и (1.3) выводим
где а и V — также функции и и вторичного параметра.
Что касается вариации 
по вторичному параметру, то уравнения (2.2) дают
Полагая 
мы видим, что 
инвариант порядка 2, называемый кривизной. Полагая теперь 
мы получаем вариацию 
из уравнения
Группа, действующая на 
, есть, таким образом, группа переносов. Чтобы фиксировать триэдр, мы можем дать 
некоторое произвольное значение. Мы возьмем 
и получим таким образом единственный триэдр второго порядка: это триэдр Френе.
Сделав это, имеем 
или 
далее, 
Уравнения (2.2) сводятся к одному, которое мы запишем в виде
где 
инвариант третьего порядка, называемый кручением.
Обозначая через 
единичные векторы, лежащие соответственно на второй и третьей осях триэдра Френе, мы получаем формулы Серре — Френе:
Наши рассуждения не применимы, когда 
этом случае, если 
не нули, речь идет, как мы это увидим в упражнении 1, о кривых, расположенных в изотропной плоскости. Если 
то редукция не может быть продолжена: триэдры порядка 1 будут триэдрами Френе. Значит, мы имеем дело с особыми кривыми. Между тем мы имеем 
есть постоянный вектор, т. е. речь идет о прямых.
Наконец, в дальнейшем, мы рассмотрим теорию кривых, у которых 
есть вектор нулевой длины (минимальные кривые); к ним предыдущие рассуждения также не применимы (§ 10).
