6. Кривизна нормальных сечений. Индикатриса Дюпена.

Рассмотрим плоское сечение поверхности нормальной плоскостью, касательной к линии угол равен нулю в точке этого сечения, следовательно, представляет собой кривизну этого нормального сечения. Если ввести радиус кривизны этого сечения, а также радиус кривизны линии то можно написать

и это соотношение показывает нам прежде всего, что две линии, проходящие через точку и обладающие в этой точке одной и той же соприкасающейся плоскостью, имеют один и тот же центр кривизны, так как у этих кривых, общая касательная и одно и то же значение угла (этот центр кривизны будет, в частности, центром кривизны плоского сечения поверхности общей соприкасающейся плоскостью этих двух кривых).

Рис. 39.

Пусть теперь центр кривизны нормального плоского сечения, касательного к линии Точка лежит на нормали к

поверхности, центр кривизны С линии лежит в плоскости и предыдущее соотношение показывает, что он лежит на окружности диаметра лежащей в этой плоскости. Эта окружность, называемая окружностью Менье, является геометрическим местом центров кривизны кривых, проведенных на поверхность и имеющих вектор своей касательной. Прямая встречает геодезическую нормаль в точке такой, что эта точка называется центром геодезической кривизны линии

Чтобы закончить изучение кривизны линий на поверхности нам остается только рассмотреть, как меняется кривизна нормальных сечений с изменением направления их касательных; имеем

Мы видим, что обращается в нуль (кроме точек уплощения) только для асимптотических направлений.

Рис. 40.

Чтобы иметь удобное представление вариации нормальной кривизны с изменением направления касательной, отложим на ней отрезок длины Найдем геометрическое место точек концов этих векторов в касательной плоскости точки это геометрическое место называется индикатрисой Дюпена для поверхности в точке

Единичный вектор, нанесенный на направление касательной, имеет контравариантные компоненты и вектор имеет контравариантные компоненты

следовательно, между х и у существуют соотношения

Эти уравнения представляют два конических сечения с центрами в точке которые сопряжены друг с другом и направления общих асимптбт которых совпадают с асимптотическими направлениями поверхности; нас будут интересовать только действительные ветви этих сечений (рис. 40). Чтобы изучить их форму, мы должны рассмотреть те же случаи, которые представлялись нам при изучении положения поверхности относительно своей касательной плоскости; следует различать:

1° Случай эллиптической точки . В этом случае сохраняет постоянный знак, индикатриса будет эллипсом с центром в точке представляемым уравнением (6.1), в котором для 8 берется знак коэффициента

2° Случай гиперболической точки Здесь меняет знак, индикатриса слагается из двух сопряженных гипербол, имеющих в качестве асимптот асимптотические направления поверхности в точке на одной из этих гипербол положительно, на другой отрицательно.

3° Случай параболической точки не могут одновременно обратиться в нуль, так как в противном случае тоже было бы нулем, точка была бы точкой уплощения, а этот случай мы исключаем.

Если то (6.1) дает, если взять для 8 знак коэффициента

это уравнение представляет пару прямых, параллельных сдвоенному асимптотическому направлению и симметричных относительно точки сохраняет один и тот же знак.

Во всех случаях соотношение, выражающее, что в точке два направления сопряжены относительно асимптотических направлений, говорит также о том, что эти направления сопряжены относительно одного из конических сечений индикатрисы.

С другой стороны, вернемся к формуле и рассечем поверхность плоскостью, параллельной касательной плоскости и находящейся от нее на расстоянии уравнение проекции сечения на касательную плоскость имеет вид

где вместо приращений мы написали х и у; мы видим, следовательно, что локально эта кривая с точностью до

бесконечно малых высшего порядка подобна обному из конических сечений индикатрисы.