3. Поверхности, инвариантные относительно группы движений.

Будем искать теперь поверхности, инвариантные относительно группы с двумя параметрами. Движения, составляющие эту группу, должны переводить триэдр Френе некоторой фиксированной точки в триэдр Френе произвольной точки, следовательно, инварианты должны быть постоянными, т. е.

причем на этот раз Соотношения (1.6) дают прежде всего и последнее из соотношений (1.7) дает Пусть

например, Уравнения (1.8) переходят в следующие:

вектор имеет фиксированное направление, и вдоль кривых мы имеем

Триэдр Френе подвергается переносу; траекториями его точек будут прямые направления Кривые ортогональны этим прямым; приведенные выше уравнения показывают, что они плоские и имеют кривизну (действительно, есть их главная нормаль, если и последнее из написанных выше уравнений показывает, что эти кривые имеют нулевое кручение); это будут окружности равных радиусов; итак, искомые поверхности представляют собой цилиндры вращения.

Что касается поверхностей, инвариантных относительно однопараметрической группы, то мы знаем, что такая группа представляет собой группу переносов фиксированного направления или группу вращений вокруг некоторой оси или группу винтовых перемещений вокруг некоторой оси.

В первом случае траектория точки есть прямая и поверхности суть цилиндры. Во втором случае траектория точки есть окружность с центром на оси вращения, поверхности суть поверхности вращения вокруг этой оси.

В третьем случае траектория точки есть винтовая линия с заданными осью и шагом. Поверхности получаются при винтовом перемещении некоторой заданной кривой (с заданными осью и шагом). Они называются геликоидами.