11. Размерность. Кривые и поверхности. Канторовы многообразия.

Основным топологическим инвариантом сепарабельных метрических пространств является размерность.

Пусть Е - метрическое сепарабельноэ пространство; всякой его точке мы ставим в соответствие целое число (или бесконечность), называемое размерностью в точке Далее самому пространству ставим в соответствие целое число (или бесконечность), называемое его размерностью следующим образом:

1° Пустое пространство, и только оно, имеет размерность — 1.

2° , если всякая окрестность точки содержит открытую окрестность, граница которой имеет размерность если в каждой точке.

3° , если и если, кроме того, не выполняется неравенство .

b) , если и не выполняется неравенство

4° , если ни при каком не выполняется неравенство

Эти определения показывают с очевидностью инвариантность понятия размерности относительно гомеоморфизмов. Определения рекуррентны (индуктивны): сначала определяются пространства размерности нуль, что позволяет придать смысл выражению "пространство имеет размерность 1 в точке Далее придается смысл выражению: "пространство имеет размерность Нас будут интересовать только пространства конечной размерности.

Пространство было названо -мерным потому, что его точки можно задавать с помощью чисел (координат); это определение не имеет топологически инвариантной формы, и a priori нельзя утверждать, что окрестность точки пространства не является гомеоморфной окрестности точки пространства где тем не менее это верно, ибо справедлив следующий результат 1): размерность пространства равна в каждой его точке.

Число имеет, таким образом, топологический смысл.

Можно доказать также, что всякое множество размерности содержит открытое множество и что всякое пространство размерности может быть погружено в пространство (т. е. в можно реализовать пространство, гомеоморфное рассматриваемому пространству).

Можно также доказать, что всякая купюра пространства имеет размерность.

Канторовым многообразием измереций называется компактное пространство размерности которое нельзя разбить (на несвязные части) никаким подмножеством размерности — 2; отсюда следует, что такое множество имеет размерность в каждой своей точке.

Следует рассматривать это понятие как естественное обобщение понятий кривой и поверхности, которые мы определим как канторовы многообразия размерностей 1 и 2 соответственно. Кривая еще может быть определена как континуум размерности 1.

С интуитивной точки зрения недостаточно сказать, что поверхность есть континуум размерности 2 в каждой своей точке; так, на рис. 3 пять заштрихованных треугольников образуют множество, разбиваемое любой парой

вершин пятиугольника (т. е. множеством размерности нуль). Это множество обычно не рассматривается как поверхность.

Канторовым многообразием является всякое компактное многообразие обратной неверно. Так, например (рис. ), в множество, определяемое условиями

есть канторово многообразие размерности 1 (кривая), относительно которой можно доказать, что это не комплекс, в частности не многообразие.

Рис. 3.

Рис. 4.