Глава III. ОГИБАЮЩИЕ

1. Основные теоремы.

Результаты, которые мы получим вначале, описывают те множества точек, которые обязательно содержат огибающую — понятие, которое мы определим. Эти результаты установлены здесь не со всей желательной общностью.

Теорема 1. Плоский континуум, паратингенция в каждой точке которого состоит из единственной прямой, параллельной фиксированному направлению, есть сегмент прямой.

Пусть — две оси координат в плоскости. Допустим, что континуум С, о котором идет речь, проходит через О и что направление паратингенции в каждой из его точек. Прямые, параллельные достаточно близкие к О, пересекают С не более чем в одной точке, так как в противном случае прямая принадлежала бы паратингенции в точке О.

Достаточно малая окрестность точки О (на континууме) может быть представлена соотношением вида

где непрерывная функция. Так как контингенция в каждой точке этого континуума по допущению параллельна то отсюда следует, что существует и равна нулю, т. е. тождественный нуль, поскольку континуум проходит через О. Итак, некоторая окрестность точки О представляет собой сегмент прямой, лежащий на оси Предыдущее рассуждение можно повторить, начиная с одной из концевых точек этого сегмента; отсюда нетрудно заключить, что весь континуум действительно является сегментом прямой. Этот результат немедленно переносится на случай пространства. Мы его используем в следующей форме:

Не существует кривой, касательной ко всем прямым, параллельным одному направлению.

Теорема 2. Элемент жордановой поверхности, все внутренние точки которого обыкновенные и касательная плоскость в каждой точке которого параллельна фиксированной плоскости, есть плоский элемент.

Действительно, пусть фиксированное направление касательной плоскости и поверхность:

причем представление будет допустимым.

В окрестности обыкновенной точки эта гипотеза эквивалентна тому, что

Отсюда следует, что функция постоянна во всей этой окрестности и, следовательно, поверхность содержит плоскую область. Повторяя это рассуждение шаг за шагом, можно заключить, что весь элемент плоский.

Мы используем этот результат в следующей форме:

Не существует поверхности, касательной к плоскостям, параллельным одному направлению.

Доказательство указывает на то, что мы под этим подразумеваем.

Теорема 3. Элемент жордановой поверхности, на котором все внутренние точки являются обыкновенными и касательная плоскость в каждой точке параллельна заданному направлению, есть элемент цилиндра с образующей, параллельной этому направлению.

Действительно, пусть Oz - фиксированное направление, элемент поверхности с допустимой параметризацией. По условию, в окрестности каждой точки имеем

и не тождественные нули, так как иначе х и у были бы константами и мы имели бы дело с прямой, а не с поверхностью. Из написанного выше равенства можно поэтому выразить, например, у в виде непрерывной функции от х в

окрестности точки :

Поверхность содержит поэтому элемент цилиндра. Теорема доказывается далее последовательным его продолжением. Мы используем эту теорему в следующей форме:

Не существует поверхности, касательной ко всем прямым, близким к заданной прямой и того же направления, что эта прямая.