8. Антисимметричные ковариантные векторы. Внешние формы.
Рассмотрим теперь ковариантный антисимметричный тензор порядка 
Он также определен своими главными компонентами — теми, для которых 
и соображения, аналогичные предыдущим, показывают, что закон их преобразования имеет вид
Внешнее произведение 
ковариантных векторов 
определяется также формулой
и всякий ковариантный антисимметричный тензор записывается, если использовать внешние произведения векторов дуального базиса, в форме
[справа применены сокращенные обозначения (§ 4)]. Если производится замена базиса
то, как и выше, мы видим, что
Теперь рассмотрим вместо (8.3) выражение, зависящее от 
переменных 
которое мы назовем внешней формой степени 
относительно этих 
переменных, условившись, что внешние произведения, содержащиеся здесь, суть элементы алгебры, которую мы сейчас определим:
1° Допустимы замены переменных, аналогичные (8.4):
2° Внешние произведения, которые мы ввели, ведут себя как внешние произведения ковариантных векторов в отношении умножения на скаляр, антикоммутативности и дистрибутивности относительно сложения.
В частности, внешнее произведение, в котором две переменных тождественны, равно нулю; перестановка двух последовательных переменных меняет знак внешнего произведения.
Вообще, мы назовем внешней формой степени 
всякое выражение
условившись, что она тождественна форме
с коэффициентами, приведенными к виду
где 
перестановка системы индексов 
и где 
равно нулю или единице в зависимости от того, четна или нечетна эта перестановка.
Форма, все члены которой равны нулю, либо потому, что ее приведенные коэффициенты нули, либо потому, что те члены, коэффициенты в которых не равны нулю, соответствуют нулевым внешним произведениям, называется нулевой формой и обозначается нулем.
Форма степени 1 есть линейная форма. Степень ненулевой формы не превосходит 
и форма степени 
есть одночлен; она может
всегда быть представлена в виде
где с обозначает константу.
Внешняя алгебра в пространстве 
или алгебра 
измерений, вводится следующими операциями на совокупности внешних форм.
Умножение на скаляр:
Сложение двух форм одной степени: если
то
Далее, полагаем 
и две формы 
называем равными, если 
будет нулевой формой.
Внешнее умножение формы 
на форму 
не обязательно той же степени: если
то
Отсюда следуют свойства
