Глава II. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА

1. Основные формулы.

Будем исходить из определения, данного в § 15 предыдущей главы:

Раманово пространство есть пространство аффинной связности без кручения, допускающее метрическую связность, совместную с аффинной связностью.

Обозначим такое пространство через

Предположим заданной основную квадратичную дифференциальную форму

что сводится к тому, что мы полагаем где - компоненты ковариантного тензора, называемого основным тензором. Определим его контравариантные компоненты как решения уравнений

Здесь его смешанные компоненты. Ранее было введено правило обращения с индексами, основное в теории эвклидовых тензоров, позволяющее поднять или опустить один индекс; здесь нам будет достаточно напомнить соотношения между контравариантными компонентами и ковариантными компонентами вектора X касательной плоскости, связанной с некоторой точкой:

Длина этого вектора определяется соотношениями

скалярное произведение двух векторов формулой

угол между этими двумя векторами — формулой

и, наконец, элемент дуги кривой — соотношением

В случае, когда форма (1.1) определенная, изменяя ее знак, если это нужно, можно всегда сделать ее положительной. В формуле (1.2) знак абсолютной величины будет тогда излишним. Если эта форма не определенная, ее можно записать в виде суммы квадратов линейных независимых форм, снабженных знаками Разность между числом положительных и числом отрицательных квадратов есть инвариант — сигнатура формы. Можно всегда записать основную форму в виде

взяв такие векторы базиса, что

Так как мы рассматриваем пространство без кручения, то задание формы (1.1), как мы видели, определяет связность. Мы напишем вновь формулы (I, 15.6) и примем обычные обозначения. Положим и напишем

Эти символы (квадратные и фигурные скобки), симметричные по называются символами Кристоффеля первого и второго рода соответственно. Это — не тензоры. Формулы (I, 15.6) (где можно записать в виде

Отметим также, что из определения и правила дифференцирования определителя следует, если обозначить через определитель, составленный из что

но из (1.3) вытекает, что

откуда

и окончательно

где справа производится суммирование.

Вернемся теперь к формулам (I, 7.2), дающим тензор кривизны. Мы имеем

Здесь нужно было уточнить место верхнего индекса чтобы иметь возможность применить правило обращения с индексами; мы поставили его на второе место.

Перейдем теперь к ковариантному представлению этого тензора:

или

Из этого выражения мы сразу выводим, что тензор антисимметричный по антисимметричен также по и что Наконец, записав соотношение Бианки (I, 6.3) в ковариантной форме, мы имеем следующие уравнения:

Тензор тождественно равен нулю. Действительно, из (1.9) и (1.7) имеем

Остается только рассмотреть другой свернутый тензор второго порядка, называемый тензором Риччи

Это выражение показывает, что этот тензор симметричен Его свертыванием получаем единственный инвариант

называемый скалярной римановой кривизной.

Рассмотрим, в частности, случай Уравнения (1.10) показывают, что в этом Случае тензор кривизны имеет только четыре отличные от нуля компоненты

и мы легко находим, что

Теперь из (1.12) следует, что

откуда

Обращаясь к формулам , мы видим, что где К означает гауссову кривизну линейного элемента

Формулы (15.6) предыдущей главы, из которых мы вывели все остальные, вытекают из леммы Риччи (I, 15.50, которая показывает, что тензор стационарен. Для него мы снова напишем выражение

Именно здесь наиболее удобно ввести общие координаты Итак, возвращаясь к (I, 15.9) — формуле, которая является непосредственным следствием формулы (1.13), и принимая во внимание

равенство мы видим, что формула (1.13) сводится к антисимметрии по

Но лемма Риччи интересна и с другой точки зрения. Прежде всего, так как тензор единичный, он также стационарен. Далее, ковариантным дифференцированием равенства

мы получаем

откуда умножением на получаем, что

т. е. что тензор также стационарен; основной тензор является стационарным независимо от формы его записи.

Это важный результат. Пусть две (различные) записи одного и того же тензора. Ковариантным дифференцированием равенства

мы получаем, в силу правил, приведенных в что

Другими словами, ковариантные производные различных записей одного и того же тензора представляют собой разные записи одного и того же тензора. Мы можем, таким образом, говорить просто о ковариантном производном тензоре некоторого тензора.

Наконец, можно поднять индекс дифференцирования и написать, скажем,

Это ковариантный производный тензор, записанный в контравариантной форме

Уравнения Бианки (I, 6.2) можно записать также в виде

Поднимая индекс и свертывая мы получаем, что

Свертывая по , находим прежде всего, что

откуда, наконец,

Если ввести тензор

то это соотношениезапишется в виде

это тождество играет основную роль в теории относительности.

Замечания. 1° Для поля векторов полагая имеем

откуда для дивергенции поля

2° Пусть два скалярных поля. Инварианты

изображающие соответственно квадрат градиента и скалярное произведение градиентов и называются дифференциальным параметром и смешанным дифференциальным параметром первого порядка

3° Оператор Лапласа функции определяется равенством

4° Пусть два вектора, отличные от нуля претерпевающие параллельное смещение вдоль некоторой кривой С, точки которой реперированы с помощью одного параметра мы имеем (I, 8.1)

Используя формулу для угла между векторами, имеем

Угол между этими направлениями остается, таким образом, постоянным.