Главная > Курс локальной дифференциальной геометрии
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава II. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА

1. Основные формулы.

Будем исходить из определения, данного в § 15 предыдущей главы:

Раманово пространство есть пространство аффинной связности без кручения, допускающее метрическую связность, совместную с аффинной связностью.

Обозначим такое пространство через

Предположим заданной основную квадратичную дифференциальную форму

что сводится к тому, что мы полагаем где - компоненты ковариантного тензора, называемого основным тензором. Определим его контравариантные компоненты как решения уравнений

Здесь его смешанные компоненты. Ранее было введено правило обращения с индексами, основное в теории эвклидовых тензоров, позволяющее поднять или опустить один индекс; здесь нам будет достаточно напомнить соотношения между контравариантными компонентами и ковариантными компонентами вектора X касательной плоскости, связанной с некоторой точкой:

Длина этого вектора определяется соотношениями

скалярное произведение двух векторов формулой

угол между этими двумя векторами — формулой

и, наконец, элемент дуги кривой — соотношением

В случае, когда форма (1.1) определенная, изменяя ее знак, если это нужно, можно всегда сделать ее положительной. В формуле (1.2) знак абсолютной величины будет тогда излишним. Если эта форма не определенная, ее можно записать в виде суммы квадратов линейных независимых форм, снабженных знаками Разность между числом положительных и числом отрицательных квадратов есть инвариант — сигнатура формы. Можно всегда записать основную форму в виде

взяв такие векторы базиса, что

Так как мы рассматриваем пространство без кручения, то задание формы (1.1), как мы видели, определяет связность. Мы напишем вновь формулы (I, 15.6) и примем обычные обозначения. Положим и напишем

Эти символы (квадратные и фигурные скобки), симметричные по называются символами Кристоффеля первого и второго рода соответственно. Это — не тензоры. Формулы (I, 15.6) (где можно записать в виде

Отметим также, что из определения и правила дифференцирования определителя следует, если обозначить через определитель, составленный из что

но из (1.3) вытекает, что

откуда

и окончательно

где справа производится суммирование.

Вернемся теперь к формулам (I, 7.2), дающим тензор кривизны. Мы имеем

Здесь нужно было уточнить место верхнего индекса чтобы иметь возможность применить правило обращения с индексами; мы поставили его на второе место.

Перейдем теперь к ковариантному представлению этого тензора:

или

Из этого выражения мы сразу выводим, что тензор антисимметричный по антисимметричен также по и что Наконец, записав соотношение Бианки (I, 6.3) в ковариантной форме, мы имеем следующие уравнения:

Тензор тождественно равен нулю. Действительно, из (1.9) и (1.7) имеем

Остается только рассмотреть другой свернутый тензор второго порядка, называемый тензором Риччи

Это выражение показывает, что этот тензор симметричен Его свертыванием получаем единственный инвариант

называемый скалярной римановой кривизной.

Рассмотрим, в частности, случай Уравнения (1.10) показывают, что в этом Случае тензор кривизны имеет только четыре отличные от нуля компоненты

и мы легко находим, что

Теперь из (1.12) следует, что

откуда

Обращаясь к формулам , мы видим, что где К означает гауссову кривизну линейного элемента

Формулы (15.6) предыдущей главы, из которых мы вывели все остальные, вытекают из леммы Риччи (I, 15.50, которая показывает, что тензор стационарен. Для него мы снова напишем выражение

Именно здесь наиболее удобно ввести общие координаты Итак, возвращаясь к (I, 15.9) — формуле, которая является непосредственным следствием формулы (1.13), и принимая во внимание

равенство мы видим, что формула (1.13) сводится к антисимметрии по

Но лемма Риччи интересна и с другой точки зрения. Прежде всего, так как тензор единичный, он также стационарен. Далее, ковариантным дифференцированием равенства

мы получаем

откуда умножением на получаем, что

т. е. что тензор также стационарен; основной тензор является стационарным независимо от формы его записи.

Это важный результат. Пусть две (различные) записи одного и того же тензора. Ковариантным дифференцированием равенства

мы получаем, в силу правил, приведенных в что

Другими словами, ковариантные производные различных записей одного и того же тензора представляют собой разные записи одного и того же тензора. Мы можем, таким образом, говорить просто о ковариантном производном тензоре некоторого тензора.

Наконец, можно поднять индекс дифференцирования и написать, скажем,

Это ковариантный производный тензор, записанный в контравариантной форме

Уравнения Бианки (I, 6.2) можно записать также в виде

Поднимая индекс и свертывая мы получаем, что

Свертывая по , находим прежде всего, что

откуда, наконец,

Если ввести тензор

то это соотношениезапишется в виде

это тождество играет основную роль в теории относительности.

Замечания. 1° Для поля векторов полагая имеем

откуда для дивергенции поля

2° Пусть два скалярных поля. Инварианты

изображающие соответственно квадрат градиента и скалярное произведение градиентов и называются дифференциальным параметром и смешанным дифференциальным параметром первого порядка

3° Оператор Лапласа функции определяется равенством

4° Пусть два вектора, отличные от нуля претерпевающие параллельное смещение вдоль некоторой кривой С, точки которой реперированы с помощью одного параметра мы имеем (I, 8.1)

Используя формулу для угла между векторами, имеем

Угол между этими направлениями остается, таким образом, постоянным.

1
Оглавление
email@scask.ru