8. Элементы касания, погруженные в многообразие. Продолжение группы преобразований.

Рассмотрим многообразие измерений погруженное в многообразие , определяемое, например, уравнениями

мы будем предполагать, что функции имеют непрерывные частные производные до порядка и что матрица

имеет ранг в некоторой окрестности пространства точек обобщая то, что мы сказали в будем называть элементом касания размерности и порядка для многообразия

погруженного в многообразие в точке и совокупность

она может быть задана посредством частных производных

Выполним над переменными -замену переменных группы :

из равенств

следует, что

и эти формулы определяют центро-аффинное пространство, касательное к многообразию в точке как подпространство центро-аффинного пространства касательного к

Для производных высшего порядка закон преобразования более сложен; например, для вторых производных имеем

Мы будем называть элементом касания порядка и размерности погруженным в совокупность чисел вида

где матрица имеет ранг и числа не зависят от порядка индексов (иначе говоря, величины обладают теми же свойствами симметрии, что и частные производные порядка функции от переменных).

В силу элементарных свойств функций от переменных, тогда существуют многообразия погруженные в т. е. функции такие, что при значениях переменных имеем

Рассмотрим теперь другой элемент касания того же порядка и той же размерности:

Мы будем говорить, что он равен элементу если существуют такие постоянные

где аимеют те же свойства симметрии по отношению к индексам что и частные производные порядка функции переменных, и такие, что

Это определение означает, что после замены параметров, принадлежащей к группе на многообразии допускающем элемент касания, определяемый числами системы этот последний будет определяться числами системы из этого замечания следует (но это также легко доказать непосредственно), что отношение равенства, которое мы только что определили, есть отношение эквивалентности.

Допустим теперь, что многообразие может быть снабжено структурой группы определяемой уравнениями (3.1) и (3.2), и присоединим к многообразию эту структуру.

Два многообразия и погруженные в многообразие будут называться равными, если можно перейти от одного к другому преобразованием группы основная задача дифференциальной геометрии в многообразии снабженном такой структурой, состоит в том, чтобы характеризовать классы интранзитивности в совокупности многообразий которые допускают в каждой точке элемент касания достаточно высокого порядка — порядка, для которого легко указать верхнюю границув каждом частном случае (при заданных

Доминирующая идея решения этой задачи состоит в присоединении реперов к элементам касания многообразия

в каждой из его точек и продолжении группы точечных преобразований (3.1) в преобразования, оперирующие также и над элементами касания по формулам

Иначе говоря, элементу касания (8.4) посредством рассматриваемого преобразования ставится в соответствие элемент касания определяемый числами системы

С законом композиции (3.2) преобразования (8.8) образуют, очевидно, группу, оперирующую над заданными элементами касания размерности и порядка (Можно, впрочем, полагать

Важно отметить, что двум равным, элементам касания преобразование (8.8) ставит в соответствие равные элементы касания это легко обнаружить простым подсчетом (упражнение 8).

Мы приходим к новому понятию: два элемента касания будут называться равными в многообразии снабженном структурой группы (или просто равными), если существует преобразование группы переводящее в элемент касания, равный элементу в предыдущем смысле (когда многообразие не имеет никакой иной структуры, кроме топологической); это новое понятие также будет эквивалентностью.

Снабжение элемента касания репером будет производиться по изложенным ранее принципам которые мы сохраним в силу причин, важных для дальнейшего.

Допустим для определенности, что группа О действует транзитивно над точками многообразия мы будем называть репером нулевого порядка элемента касания совокупность реперов, присоединенных к точке (если -основной репер, присоединенный к точке то совокупностью реперов нулевого порядка будет где означает преобразование группы переводящее

точку в точку Эти реперы преобразуются один в другой посредством преобразований подгруппы (изоморфной подгруппе, сохраняющей точку если подгруппа не связна, то мы начнем с ориентации точек многообразия чтобы оставить из подгруппы только ее связную часть, содержащую тождественное преобразование. Подгруппа определяется приравниванием нулю линейных однородных комбинаций из форм она зависит от параметров. Мы ее продолжаем в группу (линейную), действующую над элементами по формулам (8.8); если эта группа не действует транзитивно над этими величинами, мы ее разобьем на классы, которые реперируем с помощью инвариантов (порядка 1). Затем будем рассматривать подгруппу подгруппы сохраняющую заданный элемент причем оставим только связную компоненту тождественного преобразования, ориентируя, если это необходимо, элемент касания первого порядка. Подгруппа определяется приравниванием нулю линейных однородных комбинаций форм отличных от о предыдущих; таким образом, подгруппа будет зависеть от параметров. Реперы первого порядка получатся, если мы будем действовать на выбранный репер среди реперов нулевого порядка преобразованиями группы

Теперь этот метод ясен: мы будем продолжать реперирование элементов касания второго порядка таким же образом и так далее. Мы остановимся на порядке или на порядке таком, что группа сведется к одному, только тождественному преобразованию и компоненты порядка выше будут инвариантами. Существует только один репер порядка

Важно отметить, что порядок вообще говоря, ограничен.

Поскольку матрица имеет ранг в действительности можно взять в качестве переменных, - которые будут представлять многообразие в окрестности переменных например первых переменных; тогда будем иметь

Записывая, что заданный соотношениями (8.8) элемент равен элементу имеем

Из строчки [0] мы возьмем соотношений между величинами а, определяющими группу Из строки [1] мы получим, полагая

откуда следуют условия

Между тем, поскольку величины имеют произвольные значения, эти условия не будут тождественно удовлетворены в силу уравнений строки [0], ибо это означало бы, как легко видеть, что что невозможно, так как совокупности соотношений (8.9) существует, следовательно, по крайней мере одно новое соотношение между величинами а. Из соотношений строки [2] мы получим затем величины и, как выше, придем к заключению, что вообще между величинами а существует по крайней мере еще одно соотношение сверх тех, которые уже получены.

Следовательно, вообще снабжение элементов касания реперами будет закончено раньше, чем мы достигнем порядка

Обозначим через наибольшее число независимых соотношений между величинами а, заданными посредством уравнений (8.9) и независимых от соотношений, данных уравнениями строки [0]; элемент касания, для которого этот максимум достигается, называется обыкновенным элементом (размерности первого порядка.

Точно так же, если наибольшее число новых соотношений, получаемых из соотношений строки [2], то элементы касания, для которых этот максимум достигается, называются обыкновенными элементами второго порядка; и так далее, вплоть До порядка при котором подгруппа сводится к тождеству. Обыкновенный элемент касания размерности и порядка называется обыкновенным элементом размерности

Чтобы число различных соотношений между величинами а, которые можно получить из равенств строчек [1], [2], ..., не достигало максимумов необходимо, чтобы координаты соответствующих элементов касания удовлетворяли известным соотношениям; такие элементы касания будут называться особыми.

Они могут бить разных типов; тип элемента касания характеризуется последовательностью чисел независимых соотношений между величинами а, получаемых последовательно из строк эти числа, начиная с некоторого ранга, будут все равняться нулю; обозначив этот ранг через будем иметь

если имеет место равенство, то элемент касания — конечного типа; если имеет место неравенство, то он бесконечного типа; в этом случае группы будут все одни и те же, начиная с некоторого ранга, и не приведутся к тождественному преобразованию.

Наконец, необходима еще последняя операция. В совокупности обыкновенных элементов касания размерности продолженная группа вообще не действует транзитивно, в силу существования инвариантов; отождествим среди них элементы одного и того же класса транзитивности; тогда (и в этом цель рассуждения настоящего параграфа) продолженная группа вплоть до порядка будет просто транзитивна во множестве обыкновенных элементов касания размерности

Рассмотрим теперь фиксированный обыкновенный элемент касания

и присоединим к нему фиксированный репер пусть преобразование, переводящее в элемент

мы присоединим к элементу репер и будем называть его репером Френе 1).

Для особых элементов конечного типа имеют место аналогичные соображения; для особых элементов бесконечного типа можно надеяться только отождествить элементы касания, у которых группы одни и те же.