11. Геодезические наложения.

Два пространства с линейной аффинной связностью называются геодезически наложимыми, если между ними можно установить, по крайней мере локально, точечное взаимно однозначное соответствие, переводящее геодезические одного пространства в геодезические другого. Возвращаясь к уравнениям геодезических (8.4), мы замечаем, что

Но величины симметричны по Они поэтому являются коэффициентами аффинной связности без кручения (§ 7). Проблема геодезической наложимости двух пространств аффинной связности сводится, таким образом, к такой же проблеме для двух пространств без кручения; этот последний случай мы и будем рассматривать.

Запишем систему (8.3) в виде

и пусть дано другое пространство, геодезически наложимое на первое, причем отображение реализуется реперированием точек с помощью одних и тех же переменных и коэффициенты связности второго пространства суть Аналогичная (11.1) система для этого второго пространства может быть эквивалентна (11.1) только в случае, если мы имеем равенство

где означает линейную форму, скажем,

Но формула (7.3) при дает

т. е. эти разности симметричны по Записав тогда (11.2) в виде

мы получаем, что

Отсюда

Так как формы и преобразуются по формулам (3.3), то их разности

будут компонентами тензора

Свертывание этого тензора дает инвариант, равный

и эта формула показывает, что — компоненты ковариантного вектора.

Внешним дифференцированием из (11.3) получаем, принимая во внимание, что

откуда

или, полагая

Введем теперь свернутые тензоры

Из тождества Бианки (6.3) с помощью свертывания для них получается соотношение

Свертыванием из (11.4) получаем, что

Из этих равенств, используя равенство (11.7), находим, что

и, наконец,

Подставляя это выражение в (11.4) и перенося члены с черточками в левую часть, мы получаем в правой части

и уравнение (11.4) записывается в виде

Тензор введенный Г. Вейлем, будет одним и тем же в соответствующих точках двух геодезически наложимых пространств. Мы имеем, очевидно,

Далее, с помощью легкого прямого вычисления, используя тождество Бианки (6.3), получаем, что

и наконец с помощью свертывания находим, что

Легко проверяется, что тензор Вейля будет тождественным нулем для и его введение полезно только для

Мы применим теперь предыдущие рассмотрения для отыскания условий, при которых пространство аффинной связности без кручения геодезически наложимо на аффинное пространство откуда

Прежде всего для этого необходимо, чтобы и нужно выяснить, используя (11.8), нельзя ли найти ковариантный вектор такой, что выполнено равенство

Формула (5.9) записывается теперь в виде

откуда, в силу формулы (11.4) и равенства имеем

Из (11.9) ковариантным дифференцированием получаем

или

Эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы система (11.9) была вполне интегрируемой; значит, они же являются условиями, необходимыми и достаточными для того, чтобы пространство было геодезически наложимо на аффинное пространство

Для мы выразим эти условия с помощью тензора Вейля. Ковариантным дифференцированием и свертыванием получаем

Используя формулу (6.2) и тот факт, что ковариантное дифференцирование и свертывание — перестановочные операции, мы находим

откуда

В скобках стоит левая часть уравнения (11.10) с точностью до. обозначений. Итак, для система (11.10) эквивалентна равенствам которые в свою очередь являются следствиями равенств Итак для того чтобы пространство с аффинной связностью без кручения было геодезически наложимым на аффинное пространство

необходимо и достаточно, чтобы его тензор Вейля был тождественным нулем, когда чтобы были выполнены равенства (11.10), когда