10. Эвклидовы тензоры.

Если в пространстве введена структура группы вращений вокруг начала [формулы (I, 19.1) с ], то вместо мы получаем пространство центро-эвклидово пространство. Это — пространство свободных (контравариантных) векторов пространства всякой точке пространства соответствует свободный вектор в пространстве и обратно.

Во многих вопросах интересно заставить действовать на общее преобразование центро-аффинной группы но тогда, вообще

говоря, оси, составляющие основной -эдр, теряют свойство ортогональности.

Пусть в некотором ортогональном репере компоненты двух векторов х и у. После преобразования

скалярное произведение записывается в виде

где -константы нетрудно видеть, что

и что форма положительно определенная.

Возвращаясь к исходным обозначениям (вместо ), мы назовем центро-эвклидовым пространством пространство в котором задана квадратичная форма

у которой

представляющая собой инвариант; здесь координаты произвольного вектора х.

Ввиду (10.2) эта форма есть сумма квадратов линейно независимых форм, снабженных знаком или Нам следовало бы прибавить, что все квадраты снабжены знаком но это требование оказывается излишним для того, о чем мы будем говорить; поэтому мы не будем его накладывать.

Значение формы (10.1) для вектора х будет называться скалярным квадратом или просто квадратом вектора х и обозначаться Мы будем называтьдлиной вектора х и обозначать через величину

Пусть координаты двух векторов х и у; квадрат длины вектора где произвольные константы, равен

Так как первый и последний члены правой части инвариантны, то отсюда следует, поскольку произвольны, что билинейная форма

также инвариантна. Она называется скалярным произведением двух векторов. Когда оно равно нулю, векторы называются ортогональными. Скалярное произведение вектора самого на себя есть квадрат этого вектора.

Из этой инвариантности следует (§ 3), что компоненты симметричного тензора (2) называемого основным тензором.

Непосредственно видно, что . Базис называется ортогональным, или прямоугольным, если для и ортонормированным, если, кроме . Если форма (10.1) положительно определенная (истинное центро-эвклидово пространство), то мы имеем

Рассмотрим ковариантный вектор, определенный равенством

Всякому контравариантному вектору х мы ставим таким образом в соответствие ковариантный вектор х с координатами и это соответствие взаимно однозначно, поскольку Это соответствие, будучи, очевидно, линейным, сохраняет умножение на скаляр и сумму. Так как вектор х, с другой стороны, может быть так же хорошо определен посредством чисел как и посредством чисел то мы условимся отождествлять два объекта тихи говорить, что ковариантные координаты вектора его контравариантные координаты.

В пространстве таким образом, не будет ковариантных или контравариантных векторов, а будут только векторы, определенные его ковариантными или контравариантными координатами.

Равенство (10.4) показывает, что есть величина ортогональной проекции вектора х на ось нормированных равенствами прямоугольных координатах ковариантные координаты вектора равны контравариантным координатам с соответствующими номерами. Полагая

где алгебраическое дополнение элемента в определителе так что

мы получаем решение системы (10.4) в виде

будут компонентами тензора Формулы (10.4) и (10.40) позволяют переходить от контравариантных координат вектора к его ковариантным координатам и обратно. При этом соглашении формула (10.3) принимает простой вид

Наше соглашение сводится к тому, что мы отождествляем элемент базиса дуального пространства с элементом пространства [формула (10.40]. Вообще, условимся отождествлять элемент пространства с элементом пространства и аналогично для тензорных произведений с большим числом множителей, так что всякий контравариантный вектор пространства будет отождествляться с контравариантным вектором пространства Это все равно, что сказать, что всякий тензор пространства будет отождествляться с тензором Множество всех тензоров, тождественных одному тензору, называется эвклидовым тензором.

Рис. 10.

Эвклидов тензор не имеет специфического характера ковариантного или контравариантного тензора, он может быть охарактеризован его порядком суммой порядков контравариантности и ковариантности одного из его представителей. Его различные представления (в числе координат каждое), напротив, имеют

каждое специфический характер контравариантности или ковариантности. Так, например, тензор третьего порядка имеет восемь представлений:

Для аффинных тензоров нам нужно было только точно знать названия и места ковариантных индексов в последовательности этих индексов и названия и места контравариантных индексов в последовательности этих индексов. В случае же эвклидовых тензоров, напротив, нужно заботиться о том, чтобы все индексы сохраняли свои места. Так, например, исходя из представления предыдущего тензора, мы получаем представление опуская индекс , а представление также получаем, опуская индекс k.

Переходя от одного представления к другому, мы уточняем нашей записи места индексов, которые были опущены или подняты, т. е. которые перешли из состояния контравариантности в состояние ковариантности, или наоборот.

Основная задача, с которой мы эдесь сталкиваемся, — это задача перехода от одного представления к другому, т. е. задача опускания или поднятия индексов.

Эта задача разрешена формулами (10.4) и (10.4) и соотношениями между базисами которые мы дали. Пусть, например, надо опустить второй индекс в тензоре записанном в контравариантной форме Имеем

откуда после замены обозначений

Для поднятия индекса можно получить таким же образом формулу

Вообще, мы имеем формулы следующего типа:

Эти формулы показывают, в частности, что контравариантное представление основного тензора дается в виде [формула (10.5)]; что касается его смешанных представлений: и то в силу (10.50

имеем

т. е. тензор будет единичным тензором валентности 2.

Заметим также, что в силу симметрии если тензор: является симметричным или антисимметричным по отношению к некоторым индексам, записанным на контравариантных местах, то же самое будет справедливо и для его представления, в котором эти индексы стоят на ковариантных местах, и наоборот.

Относительно операций над эвклидовыми тензорами можно сделать следующие замечания:

1° Можно складывать два тензора одного порядка: берем два подобных представления этих тензоров, например контравариантные представления, и контравариантное представление суммы получаем, складывая соответственные контравариантные компоненты этих тензоров.

2° Пусть заданы два тензора для определенности порядка 3 и 2 своими представлениями, скажем и тогда тензор

называется произведением тензоров взятых в этом порядке; он не зависит от представлений, выбранных для множителей.

3° Пусть задан тензор порядка выбрав произвольна два его индекса, приведем один из них в ковариантное, другой в контравариантное положение и свернем полученный тензор по этим двум индексам. Мы получим новый тензор валентности называемый тензором, полученным из свертыванием по двум выбранным индексам.

Пусть, например, нужно свернуть тензор по индексам Начинаем с того, что образуем представление тогда свертывание дает нам тензор

Исходя из другого представления тензора мы получили бы другое представление тензора

Эти результаты легко доказать, исходя из соотношений (10.6) и (10.60 и принимая во внимание симметрию основного тензора.

В заключение рассмотрим одно приложение.

При замене базиса имеем

полагая выводим отсюда, что

Допустим теперь, что и ограничимся преобразованиями, которые сохраняют ориентацию базиса Имеем

Следовательно, в силу формул (7.1) величины

[ или 1 в зависимости от четности перестановки ] будут контравариантными компонентами антисимметричного тензора валентности Проверяется без труда, что его ковариантные компоненты равны

Рассмотрим теперь антисимметричный тензор валентности Пусть одно из его представлений. Тензор валентности получаемый умножением со свертыванием тензора на предыдущий тензор, называется присоединенным к Имеем

Тензором, присоединенным к будет Тензор, присоединенный к вектору, есть антисимметричный тензор валентности и наоборот.

В обычном трехмерном эвклидовом пространстве всякому антисимметричному тензору валентности 2 можно, таким образом, поставить в соответствие вектор. Рассмотрим, в частности, случай бивектора и предположим, что базис ортонормированный:

Ненулевые компоненты бивектора выражаются следующими формулами, в которых обозначают компоненты векторов х и у:

Присоединенный вектор имеет компоненты

Он называется векторным произведением двух векторов х и у. Путаница в обозначениях, которая теперь приобрела силу привычки, привела к тому, что этот вектор обозначают

Вектор таков, что три направления х, у, z образуют правый триэдр. Длина вектора равна

Если перейти к случаю антисимметричного тензора валентности имеющего только одну главную компоненту то присоединенный к нему тензор будет скаляром . В случае если тензор будет внешним произведением векторов этот скаляр называется смешанным произведением векторов и обозначается через Обозначая через координаты вектора мы имеем

Смешанное произведение обладает всеми свойствами линейности и антикоммутативности внешнего произведения. Когда оно равно нулю, векторов определяют линейное многообразие размерности Оно представляет ориентированный объем параллелепипеда, построенного на векторах.

Для также пишут (из-за путаницы в обозначениях)