3. Асимптотические линии.

В точке поверхности асимптотическими направлениями будут направления, для которых форма II обращается в нуль: они действительны только в гиперболических или параболических точках. Асимптотической линией поверхности называется такая линия, в каждой из точек которой направление касательной совпадает с асимптотическим направлением, выходящим из этой точки.

Разрешая уравнение (2.2), найдем, если поверхность не является развертывающейся, два дифференциальных уравнения вида

и, следовательно, два семейства асимптотических линий, получающиеся интегрированием каждого из этих уравнений; через точку поверхности проходит одна асимптотическая линия каждого семейства. Можно принять эти два семейства в качестве координатных линий в окрестности гиперболической точки; уравнение (2.2) должно приводиться тогда к виду ; следовательно, мы должны иметь и форма II примет вид

Вдоль всей асимптотической линии имеем, кроме равенства соотношение вектор будет, следовательно, бинормалью к кривой, и обратно, если бинормаль к кривой, то мы получим оба эти соотношения.

Таким образом, можно характеризовать асимптотические линии, говоря, что их соприкасающаяся плоскость является касательной плоскостью к поверхности. Касательные к асимптотической линии образуют развертывающуюся поверхность, описанную около поверхности

Если поверхность содержит прямую, то она будет асимптотической, ибо, поскольку вектор коллинеарен вектору то форма II вдоль этой прямой обращается в нуль.

В случае развертывающейся поверхности два семейства асимптотических линий сводятся к одному, которое должно тогда рассматриваться как сдвоенное семейство и которое в силу вышесказанного образовано прямолинейными образующими поверхности.

Асимптотические направления не будут действительными в окрестности эллиптической точки; следовательно, через такую точку не проходят действительные асимптотические линии; тем не менее на аналитической поверхности можно всегда определить асимптотические линии, действительные или мнимые.

Асимптотические линии на линейчатой поверхности. Рассмотрим линейчатую поверхность

имеем

Чтобы найти уравнение асимптотических линий, надо записать, что вектор лежит в касательной плоскости, определяемой векторами это дает

или

Мы находим сначала семейство (откуда ), состоящее из прямолинейных образующих поверхности; это семейство будет сдвоенным, если

и мы видели, что в этом случае поверхность будет развертывающейся. В общем случае для определения второго семейства имеем уравнение

которое, если использовать развернутое представление смешанного произведения по степеням параметра будет иметь вид

где — функции параметра ; это уравнение Риккати, общее решение которого, как известно, является дробнолинейной функцией постоянной интегрирования

Если задать четыре частных решения этого уравнения: соответствующие значениям постоянной интегрирования, то

Пусть четыре асимптотические линии где пропорциональны абсциссам точек отсчитываемым от точки на соответствующей прямолинейной образующей; мы имеем, следовательно,

т. е. ангармоническое отношение точек, в которых четыре асимптотические линии пересекают прямолинейную образующую, не зависит от образующей. Таким образом, если известны три асимптотические линии то мы получим все асимптотические линии семейства, записывая равенство

где С означает проузвольную постоянную. Напомним еще, что если известно одно частное решение уравнения Риккати, то интегрирование в общем

случае получается двумя квадратурами; если известны два частных решения, то понадобится только одна квадратура.

Если прямолинейные образующие поверхности опираются на одну прямую, которую можно тогда принять за линию где означает абсциссу на этой прямой, то будет постоянным вектором будет равно нулю. Уравнение (3.1) запишется так:

или, после умножения на

это уравнение, интегрирование которого требует только одной квадратуры. Если прямолинейные образующие поверхности опираются на две прямые, то криволинейные асимптотические линии можно получить без квадратур.