3. Аффинные тензоры.

По правде говоря, понятие тензора в том виде, как оно было изложено, во всей его общности совсем не употребляется в дифференциальной геометрии. Чаще всего ограничиваются,

и это мы в дальнейшем сделаем, случаем, когда каждое из пространств-сомножителей тензорного произведения совпадает с фиксированным пространством или с дуальным к нему пространством причем каждое из этих пространств предполагается отнесенным кодному и тому же базису для или дуальному базису для

Мы получаем, таким образом, новые геометрические объекты, относящиеся к пространству называемые афинными тензорами или попросту тензорами 1).

Рассмотрим, например, тензорное произведение

Контравариантный вектор этого пространства записывается в форме

и определяет в дважды ковариантный, дважды контравариантный и один раз ковариантный тензор валентности (число индексов), имеющий компонент.

Коварианпгные индексы всегда будут записываться внизу, контравариантяые — наверху.

Что касается закона преобразований компонент тензора при преобразовании (1.2) и обратном к нему (1.2), то, обозначая через его компоненты в новой системе координат, имеем

Заметим, что эти формулы зависят только от числа контравариантных и ковариантных индексов. Они были бы теми же, например, для тензора и можно непосредственно установить взаимно однозначное соответствие между векторами пространства (3.1) и векторами пространства

В вопросах, которыми мы будем заниматься, не будет представлять интереса различие между тензорами, возникающими в этих различных тензорных произведениях, так что тензор будет определяться лишь числом его ковариантных и контравариантных индексов, и мы условимся отождествлять два тензора, подобных приведенным выше. Мы будем записывать такой тензор

в виде или или в еще более сжатой форме Такой тензор называется тензором (2 раза контравариантным, 3 раза ковариантным).

Мы будем называть нулевым тензором и обозначать нулем тензор, все компоненты которого равны нулю.

Тензоры и будут соответственно контравариантными и ковариантными векторами. Удобно также называть скаляр тензором валентности нуль.

Если задан геометрический объект, определенный посредством величин бывает интересно узнать, является ли он тензором в том случае, когда не заданы непосредственно формулы (3.2), выражающие закон преобразования компонент при замене базиса.

Пусть координаты двух произвольных ковариантных векторов, координаты трех контравариантных векторов, также произвольных. Тогда величина

есть скаляр, или инвариант, если — компоненты тензора не зависит от выбора репера в пространстве но, очевидно, зависит от выбора векторов

Действительно, при замене базиса (1.2) и переходит в

но в силу соотношений

для правой части равенства имеем

Обращение этого результата дает критерий тензорности объекта.

Допустим, что величин определяющих геометрический объект в пространстве таковы, что I будет инвариантом, каковы бы ни были ковариантные векторы контравариантные векторы хпхьк Тогда этот объект есть тензор

В самом деле, равенства

дают в силу того, что произвольны,

а это с точностью до обозначений — формулы второй строки (3.2). Результат установлен.

Приведем один более общий результат.

Если и два тензора, то величины

являются компонентами тензора

Действительно, формулы преобразований дают

что и доказывает результат.

Критерий тензорности, который дает обратная теорема, формулируется следующим образом:

Если геометрический объект определен в пространстве системой из величин такой, что, каков бы ни был тензор величины иопределенные формулами (3.3),

являются компонентами тензора то геометрический объект, определенный величинами естъ тензор

Детали доказательства предоставляем читателю.

Конечно, можно варьировать и обобщать многими способами критерии тензорности, приведенные выше. Сказанного достаточно, чтобы дать об этом полное представление.

Наконец, упомянем, что так же, как мы определяли векторное поле в множестве точек пространства можно определить поле тензоров, сопоставив к каждой точке множества тензор. Вообще, в каждой точке подмножества многообразия определяется поле тензоров, если условиться, что каждой точке множества соответствует тензор касательного центро-аффинного пространства.