Главная > Курс локальной дифференциальной геометрии
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

12. Формула Оссиана Бонне.

На плоскости, если мы рассматриваем простую замкнутую кривую, являющуюся границей области, и, отправляясь от некоторой точки, описываем ее в положительном направлении, то при возвращении в исходную точку оказывается, что касательная повернулась на угол

Рис. 32.

Что касается поверхности, то, описывая замкнутую кривую в положительном направлении и рассматривая угол поворота полукасательной при параллельном переносе, мы обнаружим, что этот угол, вообще говоря, не равен после полного обхода, а имеет излишек по сравнению с этой величиной, который как раз и показывает, что поверхность искривлена (т. е. просто что она не изометрична плоскости).

Предположим, что линейный элемент приведен к виду

и рассмотрим область ограниченную кривой С, через каждую точку которой проходит одна и только одна линия каждого из семейств с аналитической точки зрения предположим, что можно записать

где непрерывные функции параметров Область есть образ области А плоскости ограниченной кривой у. Как мы видели (§ 8), положительное направление на кривой у индуцирует положительное направление на кривой в силу формул (10.1) имеем

Оценим сначала проинтегрированную часть, которая, очевидно, кратна Имеем

и отношение не меняет знака. Если оно будет постоянно, то можно, кроме того, предположить, что оно равно единице, заменяя на при этих условиях линия у есть образ кривой у плоскости описанной в положительном направлении вместе с кривой у и, следовательно,

Если отношение непрерывно, мы допустим, что его значение в точке равно предположим, что область окружает точку и достаточно мала, чтобы

Тогда получим также

Этот результат имеет место и для области, ограниченной достаточно малым криволинейным полигоном. При этом, конечно, нужно принимать во внимание внешние углы; равным образом этот результат справедлив для линии у — прообраза произвольной кривой С, ограничивающей односвязную область которую можно разложить на конечное число достаточно малых областей.

По формуле Грина ) имеем, с другой стороны,

окончательно формула (12.1) запишется так:

эта формула принадлежит Оссиану Бонне-, левая часть представляет собой угол, на который поворачивается касательная к линии в параллельном переносе при полном обходе контура.

После того, как это предложение доказано для односвязной области такой, что существует представление линейного элемента в виде (12.1) (через всякую точку области проходит одна и только одна линия из каждого семейства оно распространяется на односвязную область которая может быть разбита на конечное число областей, аналогичных предыдущим (рис. 33).

Если линия С — криволинейный полигон с вершинами то, вводя внутренние углы имеем

так как к сумме интегралов взятых вдоль каждой стороны, которую мы будем по-прежнему обозначать через нужно добавить сумму углов, на которые поворачивается касательная в каждой вершине, при переходе от одной стороны к другой.

Рис. 33.

Рис. 34.

Если речь идет о геодезическом полигоне то имеем

или для геодезического треугольника

Из этой формулы следует, что на поверхности положительной кривизны сумма углов геодезического треугольника всегда больше ; для поверхности отрицательной кривизны имеет место противоположное утверждение.

На сфере радиуса получаем хорошо известную формулу, определяющую площадь а геодезического треугольника

Из формулы (12.3) можно получить также подсчет интеграла полной кривизны по неодносвязной области; например, в

кольцеобразной области ограниченной двумя кривыми разбивая ее, как показано на рис. 34, получаем

Наконец, на замкнутой поверхности (без границ и без сдвоенных точек) интеграл полной кривизны связан с топологическим инвариантом: числом дыр, или родом поверхности; в самом деле, легко показать, что

где означает род ( поверхности, гомеоморфной сфере; на поверхности, гомеоморфной тору).

Приложение. Параллельный перенос, не зависящий от пути. Чтобы поверхность обладала тем свойством, что параллельный перенос какого-нибудь направления из одной точки в другую не зависит от пути, необходимо и достаточно, чтобы касательная к произвольной замкнутой кривой С — границе односвязной области при полном обходе кривой поворачивалась на угол В силу формулы Оссиана Бонне, необходимо и достаточно, чтобы поверхность имела нулевую полную кривизну, т. е. была изометрична плоскости.

1
Оглавление
email@scask.ru