12. Формула Оссиана Бонне.

На плоскости, если мы рассматриваем простую замкнутую кривую, являющуюся границей области, и, отправляясь от некоторой точки, описываем ее в положительном направлении, то при возвращении в исходную точку оказывается, что касательная повернулась на угол

Рис. 32.

Что касается поверхности, то, описывая замкнутую кривую в положительном направлении и рассматривая угол поворота полукасательной при параллельном переносе, мы обнаружим, что этот угол, вообще говоря, не равен после полного обхода, а имеет излишек по сравнению с этой величиной, который как раз и показывает, что поверхность искривлена (т. е. просто что она не изометрична плоскости).

Предположим, что линейный элемент приведен к виду

и рассмотрим область ограниченную кривой С, через каждую точку которой проходит одна и только одна линия каждого из семейств с аналитической точки зрения предположим, что можно записать

где непрерывные функции параметров Область есть образ области А плоскости ограниченной кривой у. Как мы видели (§ 8), положительное направление на кривой у индуцирует положительное направление на кривой в силу формул (10.1) имеем

Оценим сначала проинтегрированную часть, которая, очевидно, кратна Имеем

и отношение не меняет знака. Если оно будет постоянно, то можно, кроме того, предположить, что оно равно единице, заменяя на при этих условиях линия у есть образ кривой у плоскости описанной в положительном направлении вместе с кривой у и, следовательно,

Если отношение непрерывно, мы допустим, что его значение в точке равно предположим, что область окружает точку и достаточно мала, чтобы

Тогда получим также

Этот результат имеет место и для области, ограниченной достаточно малым криволинейным полигоном. При этом, конечно, нужно принимать во внимание внешние углы; равным образом этот результат справедлив для линии у — прообраза произвольной кривой С, ограничивающей односвязную область которую можно разложить на конечное число достаточно малых областей.

По формуле Грина ) имеем, с другой стороны,

окончательно формула (12.1) запишется так:

эта формула принадлежит Оссиану Бонне-, левая часть представляет собой угол, на который поворачивается касательная к линии в параллельном переносе при полном обходе контура.

После того, как это предложение доказано для односвязной области такой, что существует представление линейного элемента в виде (12.1) (через всякую точку области проходит одна и только одна линия из каждого семейства оно распространяется на односвязную область которая может быть разбита на конечное число областей, аналогичных предыдущим (рис. 33).

Если линия С — криволинейный полигон с вершинами то, вводя внутренние углы имеем

так как к сумме интегралов взятых вдоль каждой стороны, которую мы будем по-прежнему обозначать через нужно добавить сумму углов, на которые поворачивается касательная в каждой вершине, при переходе от одной стороны к другой.

Рис. 33.

Рис. 34.

Если речь идет о геодезическом полигоне то имеем

или для геодезического треугольника

Из этой формулы следует, что на поверхности положительной кривизны сумма углов геодезического треугольника всегда больше ; для поверхности отрицательной кривизны имеет место противоположное утверждение.

На сфере радиуса получаем хорошо известную формулу, определяющую площадь а геодезического треугольника

Из формулы (12.3) можно получить также подсчет интеграла полной кривизны по неодносвязной области; например, в

кольцеобразной области ограниченной двумя кривыми разбивая ее, как показано на рис. 34, получаем

Наконец, на замкнутой поверхности (без границ и без сдвоенных точек) интеграл полной кривизны связан с топологическим инвариантом: числом дыр, или родом поверхности; в самом деле, легко показать, что

где означает род ( поверхности, гомеоморфной сфере; на поверхности, гомеоморфной тору).

Приложение. Параллельный перенос, не зависящий от пути. Чтобы поверхность обладала тем свойством, что параллельный перенос какого-нибудь направления из одной точки в другую не зависит от пути, необходимо и достаточно, чтобы касательная к произвольной замкнутой кривой С — границе односвязной области при полном обходе кривой поворачивалась на угол В силу формулы Оссиана Бонне, необходимо и достаточно, чтобы поверхность имела нулевую полную кривизну, т. е. была изометрична плоскости.