8. Линия кривизны. Эволюты, или поверхности центров кривизны поверхности.

Линии на поверхности которые в каждой своей точке имеют касательными одно из главных направлений, называются линиями кривизны. Кроме сферы и плоскости — поверхностей, на которых все линии будут линиями кривизны, в общем случае на каждой поверхности существует два взаимно ортогональных семейства линий кривизны; они получаются интегрированием дифференциального уравнения (7.4).

Вдоль линии кривизны выполняется, следовательно, соотношение Олинда Родрига (7.3), где скаляр имеет значение одной из главных кривизн обратно, если вдоль линии поверхности имеет место соотношение Олинда Родрига, то эта линия будет линией кривизны. Следовательно, вдоль линии кривизны три вектора компланарны; это показывает, что нормали к поверхности вдоль этой линии описывают развертывающуюся поверхность,

что, впрочем, является прямым следствием того, что вектор перпендикулярен своему сопряженному направлению Действительно, вдоль линии кривизны носители вектора которые будут геодезическими нормалями имеют огибающую и, следовательно, остаются касательными к эволюте линии мы получим другую эволюту линии поворачивая эти носители на прямой угол около касательной к линии Но полученные таким образом прямые будут в точности нормалями к поверхности вдоль линии следовательно, будут огибать новую эволюту линии Наоборот, если нормали к поверхности вдоль линии описывают развертывающуюся поверхность, обратное рассуждение показывает, что есть линия кривизны.

Приступим прямо к отысканию линий вдоль которых нормали к поверхности имеют огибающую. Мы можем написать

где означает текущую точку нормали и ее абсциссу, отсчитываемую от точки имеем

Чтобы можно было определить так, чтобы вектор был коллинеарен нормали необходимо, чтобы вектор был коллинеарен но этот вектор ортогонален нормали следовательно, он должен равняться нулю, и мы снова приходим к соотношению Олинда Родрига в форме

Сравнивая его с соотношением (7.3), видим, что т. е. равно одному из главных радиусов кривизны или и нормаль касается своей огибающей в центре кривизны или Если то обращается в бесконечность, и если это имеет место вдоль всей рассматриваемой линии кривизны то следовательно, вектор сохраняет постоянное направление вдоль линии и описывает цилиндр.

Мы теперь характеризуем развертывающиеся поверхности и фокальные поверхности конгруэнции нормалей к поверхности исключая из наших рассуждений конгруэнции нормалей к сфере (конгруэнции прямых, проходящих через неподвижную точку) и конгруэнции нормалей к плоскости (конгруэнции прямых, параллельных фиксированному направлению).

Рис. 42.

Как и в соотношении (2.1), обозначим через касательные к линиям кривизны проходящим через точку Если описывает линию нормаль к поверхности описывает развертывающуюся поверхность и касается своей огибающей в соответствующем главном центре кривизны Ее ребро возврата будет лежать на поверхности геометрическом месте точек Две поверхности называются эволютами, или поверхностями центров кривизны поверхности это — фокальные

поверхности конгруэнции нормалей (в аналитическом случае это, вообще говоря, две полости одной и той же аналитической поверхности). Две касательные плоскости в точке к развертывающимся поверхностям и задаются соответственно векторами и это будут, по определению, фокальные плоскости конгруэнций нормалей к поверхности для нормали в точке поскольку они взаимно перпендикулярны, мы получаем следующий результат:

Фокальные плоскости конгруэнции нормалей к поверхности взаимно перпендикулярны.

Отсюда следует, что если посмотреть из какой-нибудь точки пространства, то две эволюты будут казаться пересекающимися под прямым углом, так как если посмотреть, например, из какой-нибудь точки нормали в точке то фокальные плоскости будут касательными плоскостями двух конусов с вершинами в точке описанных соответственно около

С другой стороны, касательная плоскость к поверхности в точке есть плоскость ибо если описывает линию то нормали к поверхности порождают развертывающуюся поверхность, описанную около вдоль кривой проходящей через точку но если точка описывает линию то нормаль огибает кривую соприкасающаяся плоскость которой в точке будет плоскостью следовательно, будет нормальной к поверхности это будет иметь место во всех точках линии следовательно, эта линия будет геодезической линией поверхности Окончательно, линии образуют однопараметрическое семейство геодезических линий на поверхности что касается семейства линий то в силу того, что мы говорили в § 4, они будут сопряжены семейству

По той же причине ребра возврата другого семейства развертывающихся поверхностей будут геодезическими на поверхности и развертывающиеся поверхности первого семейства будут касаться поверхности вдоль семейства линий сопряженного семейству таким образом,

Ребра возврата развертывающихся поверхностей конгруэнции нормалей к поверхности будут геодезическими фокальных поверхностей.