7. Главные направления. Главные кривизны.

Когда индикатриса Дюпена — окружность, то не зависит от направления касательной, формы I и II пропорциональны; мы имеем случай, отмеченный в когда триэдры первого порядка являются триэдрами Френе; точка будет омбилической (точка округления). Чтобы получить этот случай, необходимо и достаточно, чтобы

это два уравнения относительно мы вновь убеждаемся в том, что на поверхности омбилические точки, вообще говоря, представляют собой изолированные точки. Эти соотношения эквивалентны следующим:

или

откуда

Обратно, если такое соотношение имеет место в некоторой точке, то она будет омбилической, если так как, умножая скалярно на вектор мы сразу устанавливаем пропорциональность форм I и II (если , то имеем точку уплощения). Напомним, что поверхность, все точки которой омбилические, есть сфера

За исключением омбилических точек, индикатриса Дюпена имеет оси симметрии, которые соответствуют экстремальным значениям и которые можно определить как пару ортогональных сопряженных направлений.

Рассмотрим триэдр Френе, используя формулы (II, 1.8) и вводя инвариантные линейные формы; имеем

Очевидно, что при изменении ртношения экстремум функции будет иметь место, для направлений направлений, которые мы назвали главными, и что эти экстремальные значения и - инварианты, которые мы назвали главными кривизнами (II 1).

Обозначая через угол некоторого направления с направлением имеем

и формула (7.1) записывается так:

Эта формула получена Эйлером, она позволяет подсчитать значение если известны Из этой формулы видно, что сумма нормальных кривизн по двум перпендикулярным направлениям постоянна и равна сумме главных кривизн; действительно, имеем

откуда

где означает среднюю кривизну (II, § 1).

Мы видим, что главное направление ортогонально своему сопряженному; в обозначениях § 4 это записывается так:

откуда

Но в силу (5.2) имеем также

следовательно, вектор касательной плоскости равен нулю, поскольку он ортогонален к векторам которые взаимно ортогональны.

Обратно, направление, обладающее тем свойством, что

является главным направлением; скалярное умножение соотношения (7.3) на вектор дает если только ; но в противном случае соотношение (7.3) сводится к следовательно, речь будет идти о параболической точке и о сдвоенном асимптотическом направлении, которое будет также главным направлением.

Равенство (7.3) называется формулой Олинда Родрига и означает, что вдоль главных направлений векторы коллинеарны; в силу соотношения (1.2) эти направления задаются в координатах уравнением

которое в точности выражает пропорциональность ковариантных компонент векторов

Наконец, вместе с кривизнами и мы введем также обратные к ним величины которые называются главными радиусами кривизны.

Пусть и центры кривизны нормальных сечений, идущих по главным направлениям, или главные центры кривизны, вид индикатрис показывает, что центры кривизны нормальных сечений описывают при изменении направления отрезок , если точка эллиптическая, внешнюю область интервала если точка гиперболическая, и полунормаль с концом в точке не содержащую точки если точка параболическая, причем центр уходит в бесконечность.

Рис. 41.

Приложение. Минимальные поверхности. В точке поверхности, где средняя кривизна равна нулю, индикатриса Дюпена будет равносторонней гиперболой, т. е. гиперболой с перпендикулярными асимптотами, и обратно. На поверхности, вообще говоря, существует линия точек с нулевой средней кривизной, задаваемая уравнением

Минимальной поверхностью называется поверхность, у которой средняя кривизна равна нулю в каждой точке; ее асимптотические направления во всех точках будут взаимно ортогональными, и обратно; отсюда следует, что сопряженные направления будут симметричны относительно каждого из асимптотических направлений.

То же относится, в частности, к изотропным направлениям, касательным к минимальным линиям поверхности; поскольку на плоскости всякая пара направлений, сопряженных относительно изотропных направлений, образована парой ортогональных прямых, отсюда следует, обратно, что всякая поверхность, у которой в каждой точке изотропные направления касательной плоскости сопряжены, будет минимальной поверхностью.

Принимая теперь на минимальной поверхности минимальные линии за координатные, имеем

с другой стороны, из соотношений

следует, что

Вектор таким образом, перпендикулярен трем векторам: следовательно, он тождественно равен нулю, и мы имеем

где

итак, минимальные поверхности являются поверхностями переноса образованными их минимальными линиями.

На действительной минимальной поверхности ее минимальные линии будут попарно комплексно сопряжены; обращаясь к формулам (I, 10.1), мы видим, что аналитическая минимальная поверхность задается уравнениями

где - аналитическая функция переменного и где знак означает действительную часть аналитической функции, стоящей после этого знака. Эти формулы принадлежат Вейерштрассу.