4. Тензоры кривизны и кручения.

На рассмотрим двумерное многообразие проходящее через точку

соответствующую определенное в окрестности этой точки.

Положим и рассмотрим очень маленький цикл (рис. 46), ограниченный кривыми где очень маленькие константы. Мы будем развертывать этот цикл на касательной плоскости в точке

Пусть реперы, связанные с точками в соответствующих касательных многообразиях. Выйдем из и опишем далее пусть соответственно образы Выйдем снова из и опишем мы получим образы реперов причем, вообще говоря, отлично от Сейчас мы это уточним.

Рис. 46.

По отношению к координаты суть Координаты по отношению к суть или по отношению к суть пренебрегая бесконечно малыми третьего порядка. Мы видим, кроме того, что координаты по отношению к суть . С точностью до бесконечно малых третьего порядка мы имеем следовательно,

Напишем в явной форме правые части, записывая вместо в зависимости от того, обозначаются ли входящие туда дифференциалы через или через Получаем

где мы положили

Переменные их входят сюда только через посредство операций , в силу того обстоятельства, что

Формы линейно независимы, переменные линейно выражаются через (то же верно для и С другой стороны, вторые частные производные в исчезают, поэтому можно написать

где, принимая во внимание антисимметрию по и , имеем

Так как первые члены в формулах (4.1) - векторы, то из их выражений следует, что компоненты тензора другой стороны, так как компоненты контравариантных векторов соответственно, то равенства (4.3) показывают, что выражения

являются компонентами тензора 2) называемого тензором кручения, и что величины

являются компонентами тензора называемого тензором кривизны в точке многообразия в котором введена структура связности (3.1) (в дальнейшем мы будем опускать последнее уточнение выражения).

Приведем другой способ вычисления этих двух тензоров. Возвращаясь к выражению (4.3), легко доказать, что внешняя дифференциальная форма (где через d обозначены внешние дифференциалы)

может быть записана в виде

В самом деле, рассматривая выражение (4.2) и разлагая каждый из членов в скобках в линейную комбинацию произведений мы видим, что коэффициентами будут коэффициенты разложения внешнего произведения в линейную комбинацию произведения Чтобы доказать, что имеет те же коэффициенты, что и достаточно изучить случай, когда состоит из единственного одночлена Предыдущее билинейное выражение записывается тогда в виде

т. е. оно имеет те же коэффициенты в разложении по что и в разложении по

Вернемся теперь к формулам связности (3.1). Мы получаем, применяя правило дифференцирования произведения:

Практически компоненты тензоров кривизны и кручения вычисляются с помощью формул (4.4), (4.5) и (4.6).

Выражения (4.1) могут быть выведены из (4.5) при помощи обобщения формулы Стокса, данного в