2. Минимальные линии (линии нулевой длины).

На всякой аналитической поверхности имеется, вообще говоря, два семейства изотропных линий (или линий нулевой длины); они даются уравнением это дифференциальное уравнение распадается на два других:

каждое из которых показывает, что касательная к соответствующей линии будет изотропной прямой касательной плоскости. В общем случае эти два семейства различны и через каждую точку проходит

одна минимальная линия каждого семейства. Пусть

— уравнения этих семейств; принимая линии нулевой длины за координатные линии, мы получим линейный элемент в виде

Для действительной поверхности можно выбрать в качестве две комплексно сопряженные функции. Полагая, например, можно написать уравнение первого семейства, как показывает простой подсчет, в виде

если же заменить в этом соотношении на то мы увидим, что удовлетворяет второму уравнению минимальных линий, которое получается из первого заменой на это и доказывает предложение. Итак, будут комплексно сопряженными функциями и всякая действительная точка поверхности будет иметь комплексно сопряженные минимальные координаты.

Все сказанное выше имеет место только для поверхностей у которых два семейства минимальных линий различны. Случай, когда они совпадают, соответствует равенству т. е.

касательные плоскости к поверхности изотропны, и линейный элемент может быть приведен к виду Мы уже видели (II, упражнение 1), что такая поверхность будет изотропной развертывающейся поверхностью.

Сдвоенное семейство минимальных линий представляет собой семейство касательных к ребру возврата (которое будет особой минимальной линией на поверхности); в дальнейшем мы исключим из рассмотрения изотропные развертывающиеся поверхности.

Тогда, меняя обозначения, мы заметим, что всегда можно при» вести линейный элемент поверхности к виду