15. Преобразование Ли. Преобразования касания, сохраняющие линии кривизны.

Вернемся к преобразованию Ли L (I, IV, 3); мы покажем, что оно переводит асимптотические полосы в полосы кривизны. Прежде всего мы видели, что оно переводит развертывающуюся полосу в огибающую семейства сфер, характеристические окружности которых будут кругами нулевого радиуса, центры которых описывают эвольвенту геометрического места С центров этих сфер. Полоса, представляющая собой образ развертывающейся полосы А, будет, следовательно, полосой кривизны, поскольку ее нормали касаются линии С.

С другой стороны, при этом преобразовании конус переходит в огибающую семейства сфер с центрами на прямой, являющейся образом вершины, т. е. в некоторую поверхность вращения. Следовательно, конус, образованный элементами касания, выходящими из точки будет иметь образом полосу элементов касания поверхности вращения вдоль ее осевого сечения, т. е. это будет полоса кривизны.

Наконец, преобразование полосы элементов касания, которую несет прямая, будет такой же полосой принадлежащей сфере; это опять будут полосы кривизны, и этот результат завершает доказательство.

Коротко можно сказать, что преобразование Ли переводит асимптотические линии в линии кривизны, понимая под этим, что асимптотические линии поверхности пространства переходят в линии кривизны преобразованной поверхности в пространстве — образе

Этот результат показывает, что задача отыскания асимптотических линий поверхности эквивалентна задаче отыскания линий кривизны поверхности Мы видели (§ 3), что отыскание асимптотических линий линейчатой поверхности приводит к уравнению Рикатти. Значит, то же самое будет иметь место при отыскании некруговых линий кривизны на огибающей сфер (упражнение 2).

Благодаря преобразованию Ли можно легко характеризовать преобразования касания, сохраняющие линии кривизны.

Пусть преобразование (точечное или преобразование касания), сохраняющее асимптотические линии, тогда преобразование

сохраняет линии кривизны, и обратно, если преобразование С сохраняет линии кривизны, то преобразование

сохраняет асимптотические линии. Отыскание преобразований и отыскание преобразований С будут, таким образом, эквивалентными задачами.

Мы уже определили точечные преобразования С (можно показать, что, подобно проективным преобразованиям, они зависят от 15 параметров); преобразования касания С получатся, если принять в качестве

преобразования некоторое преобразование по принципу двойственности (15 параметров). В их число входят дилатации которые позволяют перейти от некоторой поверхности к параллельным ей поверхностям.