13. Общие свойства групп.

Группой называется непустое множество элементов обладающее следующими свойствами.

Аксиома I. Имеется закон композиции элементов группы называемый умножением, который каждой паре элементов

заданных в этом порядке, различных или совпадающих ставит в соответствие третий элемент называемый произведением х на у справа, или у на х слева:

Аксиома II. Умножение ассоциативно, т. е. каковы бы На были

Аксиома III. В группе существует по крайней мере один элемент нейтральный относительно умножения на него справа, такой, что

Он называется правым нейтральным элементом, или правым единичным элементом, или правой единицей.

Аксиома IV. Всякий элемент х из имеет по крайней мере юдин правый обратный элемент определяемый равенством

Следствиями этих аксиом являются следующие предложения: 1° Правый обратный к х элемент х будет также левым обратным, т. е.

Действительно, пусть правый обратный к мы имеем сначала

откуда, умножая справа на крайние члены этих равенств, получим

2° Нейтральный элемент будет двусторонним и единственным нейтральным элементом (или единицей). Действительно, мы имеем

т. е. двусторонняя единица. Пусть другой нейтральный элемент, например, правый; по определению имеем

Далее,

так как левая единица, откуда Заметим также, что элемент, к есть Отсюда следует, что где мы положили

вообще, положим

3° Справедливо правило сокращения справа (или слева)

Чтобы доказать первое правило, умножим обе части на элемент а, обратный справа к получим

Второе правило проверяется таким же образом.

4° Имеется только один элемент, обратный к это позволяет нам говорить просто об элементе, обратном к х, и обозначить его через причем

Группа, в которой умножение коммутативно,

называется абелевой группой.

Подмножество группы которое само является группой, называется подгруппой группы всякая группа имеет подгруппу, образованную из одного элемента — единицы

Обозначив через а фиксированный элемент, мы назовем преобразование, переводящее левым сдвигом х посредством а (аналогично определяется правый сдвиг); множество всех будет обозначаться Если заданы два подмножества из то множество элементов будет обозначаться обозначения понятны без дальнейших пояснений.

Прямым произведением двух групп

называется и обозначается через множество пар

с правилом композиции

Легко видеть, что мы получаем таким образом группу, единицей которой является

Две группы называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение на

такое, что образ произведения двух элементе из является произведением образов сомножителей:

что влечет за собой равенства

То же соотношение справедливо для обратной функции, так как

т. е. группа изоморфна группе

Нейтральному элементу группы соответствует нейтральный элемент группы

Если изоморфна изоморфна очевидно, изоморфна

Итак, изоморфизм естр отношение эквивалентности; это основное отношение эквивалентности в теории групп. Две изоморфные группы отличаются только названиями своих элементов.

Изоморфное отображение группы на себя называется автоморфизмом. Можно проверить, что отображения где есть фиксированный, но произвольный элемент группы будут автоморфизмами; они называются внутренними автоморфизмами группы в абелевой группе они сводятся к тождественному отображению.

Пусть снова две группы; допустим, что существует отображение группы на (не обязательно взаимно однозначное), удовлетворяющее соотношению (13.1); оно называется гомоморфизмом группы в группу

Рассмотрим в этом случае множество такое, что для где единица группы Легко проверить, что есть подгруппа группы и что для всякого х, если так как

Таким образом, имеем (или ) каково бы ни было х. Мы говорим в этом случае, что -нормальный делитель, или инвариантная подгруппа в

Пусть элемент из элемент из

Для всякого имеем

[и точно так же ]; с другой стороны, если имеем

значит, следовательно, (можно доказать также, что существует такое что

Обозначим через X множество (или класс) это множество элементов из имеющих образом х. Пусть - другой класс, имеющий образом в силу (13.1) и полученного выше результата множество есть класс, имеющий образом мы назовем его классом вводя таким образом закон композиции классов.

Легко проверить, что с этим правилом множество классов становится группой, называемой фактор-группой группы по (и обозначаемой через изоморфной группе