2. Теория плоских кривых.

Рассмотрим плоскую кривую , где, скажем,

С точкой свяжем реперы с вершиной реперы порядка нуль. Они зависят от трех параметров. Имеются две главные компоненты (так как из следует, что не равны нулю одновременно, поскольку иначе было бы фиксированным, поэтому можно допустить, что не равно нулю.

Полагая тогда мы находим внешним дифференцированием и вариацией вторичных параметров, что

Можно определить реперы первого порядка, взяв что дает вектор касается кривой (мы имеем тогда

Из равенства мы получаем с помощью (1.3)

что при помощи нового внешнего дифференцирования дает

откуда, варьируя вторичные параметры, получаем, что

Если (или ), то редукцию нельзя продолжать; мы имеем тогда из второго уравнения следовательно, сохраняет фиксированное направление, и кривая С сводится к прямой.

Если то можно определить реперы порядка 2, положив Если заменить на соответственно (что сводится к изменению направления обхода на кривой), то заменяется на переходит в следовательно, мы можем ориентировать кривую таким образом, что (и тогда Имеется одна главная компонента порядка реперы порядка 2 зависят не более чем от одного параметра, мы имеем только одну вторичную компоненту и уравнение (2.1) принимает вид

Уравнения структуры дают

откуда вариацией последнего вторичного параметра получаем, что

Репер порядка 3, репер Френе, можно, таким образом, определить, положив Первое уравнение (2.2) показывает тогда, что зависит только от главного параметра: это линейная инвариантная форма, которую мы обозначим через и назовем аффинной дугой. Мы видим, что ее построение требует знания

Если положить, далее, то к будет инвариантом порядка 4, называемым аффинной кривизной, и мы имеем формулы перемещений триэдра Френе

С точностью до преобразования группы (1.1) можно определить плоскую кривую, допускающую в качестве аффинной кривизны заданную функцию к (в тех пределах, которые обеспечивают существование и единственность решений). Это следствие общей теоремы , но это также очень легко доказать непосредственно (так как речь идет об уравнении ).

Остается вычислить с помощью заданного параметрического представления. Имеем

Отсюда с помощью (2.3) получаем

Отсюда сначала находим, что

Далее, принимая во внимание это равенство, мы видим, что в выражении для к последние два члена исчезают, и окончательно получаем

Рассматривая, например, представление кривой в виде мы находим, что