4. Аналитические многообразия. Регулярные точки.

Пусть многообразие, погруженное в аналитическое многообразие наделенное локальной структурой группы аналитических преобразований. Многообразие называется аналитическим в точке если окрестность этой точки допускает представление вида

где функции аналитичны в окрестности системы значений соответствующих точке Если, кроме того, такое представление возможно с матрицей

имеющей ранг то такая обыкновенная точка порядка на многообразии называется регулярной. Точка, не являющаяся регулярной, называется особой.

Рассматривая матрицу

в окрестности точки мы видим, что она не может иметь тождественно ранг меньше ибо, если бы это было так, мы могли бы выразить в виде аналитических функций от числа переменных, меньшего и не имело бы размерности

Следовательно, в окрестности всякой аналитической точки существуют регулярные точки Тогда в окрестности такой точки мы можем выразить координат в виде аналитических функций от остальных координат (скажем, от первых) и получить представление вида

где аналитические функции аргументов через обозначены первых координат точки Регулярность точки может быть обнаружена, если мы возьмем за параметры подходящую систему координат; из предыдущего представления следует, что множество регулярных точек открыто.

От локального понятия, которое мы дали, переходят к понятию аналитического многообразия в целом, начиная с элементов вида с помощью процесса, аналогичного процессу, применяемому для определения аналитической функции, начиная с ее элементов (аналитическое продолжение). Детали можно найти в курсах анализа.

Заметим, однако, что в процессе продолжения в действительной области мы можем натолкнуться на аналитическую нерегулярную точку (или критическую алгебраическую точку) или на неаналитическую точку. Дальнейшее продолжение становится невозможным, если оставаться в действительной области, необходимо перейти в комплексную область.

Значительно удобнее рассматривать аналитическое многообразие как множество всех его комплексных точек [объемлющее многообразие (пространство) рассматривается как многообразие, имеющее комплексных измерений или действительных измерений; многообразие имеет комплексных измерений, действительных измерений].

Множество действительных точек такого многообразия может содержать более одной полости (ветви для случая кривых, или многообразия размерности или изолированные точки, которые только теория аналитического продолжения в комплексной области позволяет рассматривать как принадлежащие одному и тому же аналитическому многообразию.

Легко доказать, что уравнения линеиного многообразия, касательного к заданному многообразию в некоторой точке, заданлые в действительной области, сохраняют силу и для комплексной области.

Примеры. Будем рассматривать кривые в комплексной проективной плоскости для которых мы будем изучать действительные образы. 1° Прямая представленная параметрическими уравнениями

будет аналитической кривой, все точки которой регулярны, даже и начало, хотя этого и не видно из ее параметрического представления.

Рис. 13.

2° Все точки аналитической кривой (рис. 13, I)

являются аналитическими. Начало не является ни регулярной точкой, ни обыкновенной точкой.

3° Для аналитической кривой (рис. 13, II)

начало не является регулярной точкой, но это обыкновенная точка порядка 1.

4° Начало — обыкновенная точка бесконечного порядка, но не аналитическая, на аналитической кривой (рис. 13, III)

5° Если то аналитическая кривая (рис. 13, IV)

имеет две различные ветви.