15. Топологические группы.

Мы называем топологической группой множество снабженное одновременно структурой группы и топологиейг совместной с этой структурой; это значит, что топология группы должна удовлетворять двум следующим аксиомам:

Аксиома Пусть топологическое произведение на себя элемент этого пространства; тогда отображение на

ставящее в соответствие элементу произведение непрерывно?

Аксиома II. Симметрия ставящая в соответствие элементу х обратный ему элементу есть непрерывное отображение на себя.

Значение аксиомы II очевидно; что касается аксиомы I, то необходимость ее требует пояснений. Пусть окрестность элемента в силу аксиомы I это непрерывный образ окрестности элемента из но мы видели, Что эта последняя окрестность содержит окрестность вида где окрестность элемента окрестность элемента у. Следовательно, из аксиомы I вытекает, что всякая окрестность содержит окрестность вида это одна из причин, по которым принята эта аксиома.

Если а — заданный элемент, отображение непрерывно, и так как отображение также непрерывно в силу аксиомы I, то отсюда следует, что отображение непрерывно. Аналогично показывается, что отображение непрерывно, и оба этих отображения будут гомеоморфизмами на себя. То же самое справедливо относительно отображения и отображения где также задано.

Пусть О — открытое множество (или замкнутое) и — любая точка из тогда множества открыты (или замкнуты). Если А к В произвольны, а О открыто, то также открыты, как объединения открытых множеств.

Пусть V — окрестность нейтрального элемента тогда и являются окрестностями множества А.

Мы будем тогда и только тогда говорить, что топологические группы изоморфны, когда существует гомеоморфизм на который является одновременно изоморфизмом группы на группу Ограничение, наложенное здесь на понятие изоморфизма, не следует терять из виду. Изоморфизм группы на себя называется автоморфизмом; отображения где а — произвольная заданная точка, называются внутренними автоморфизмами.

Две группы называются локально изоморфными, если существует локальный гомеоморфизм

окрестности V нейтрального элемента группы на окрестность V нейтрального элемента группы такой, что для всякой пары точек для которых произведение мы имеем

И для имеем также

Две локально изоморфные топологические группы могут не быть изоморфными

Пусть -подгруппа группы легко видеть, что пространство индуцирует в топологию, совместную со структурой группы: всегда «меется в виду именно эта топология, когда говорят о подгруппе топологической группы.

Понятия, введенные для топологических пространств, распространяются на топологические группы; если, в частности, топология в определена «с помощью расстояния, то группа отделима и регулярна; можно говорить о сходимости последовательности точек в группе, полной группе, о компактной или локально компактной группе, о связной группе.

Мы не будем останавливаться на следствиях из этих различных гипотез. Сделаем, однако, несколько замечаний.

Если -подгруппа группы то ее замыкание -также подгруппа.

Действительно, если х и у — две точки из то всякая окрестность произведения содержит окрестность вида т. е. всякая окрестность точки содержит точки, являющиеся произведениями точек, принадлежащих каждому из этих множеств, т. е. принадлежит

С помощью сдвигов убеждаемся, что если подгруппа содержит одну внутреннюю точку, то и все ее точки внутренние, т. е. подгруппа будет открытым множеством. Всякая открытая подгруппа является одновременно замкнутой; действительно, пусть —эта группа, ее дополнение может быть записано в виде значит, это открытое множество, т. е. также замкнуто.

Пусть симметричная окрестность единицы; рассмотрим множество произведений конечных последовательностей элементов, принадлежащих V:

Это множество образует группу, которая является открытой, так как она содержит значит, это открытая (и замкнутая) подгруппа содержащая, следовательно, единицу. Если связно, то совпадает с Компонента связности единицы есть нормальная замкнутая подгруппа группы Действительно, всякая точка прикосновения компоненты связности принадлежит этой компоненте, а, с другой стороны, компонента связности точки х есть класс (или ), так что