11. Элементарный тензорный анализ.

Рассмотрим или контравариантный вектор зависящий от одной действительной переменной и, которая принимает, для определенности, все значения из некоторого сегмента. Обозначим через компоненты вектора Из данных раньше определений следует, что непрерывен при когда функции непрерывны в точке и наоборот.

Если вектор

имеет при предел когда А и стремится к нулю, то говорят, что имеет производную при равную

Принимая во внимание, что координаты предыдущего вектора равны

мы видим, что необходимое и достаточное условие для того, чтобы имел производную при заключается в том, чтобы его координаты были дифференцируемы при и координаты вектора будут равны Если производная существует для некоторого множества значений и, то сама эта производная будет функцией от . Ее обозначают через или Компонентами производной будут или

Можно таким же образом определить производные более высоких порядков, если они существуют. Они обозначаются через или

Для вектора, зависящего от нескольких действительных переменных, например для вектора мы определяем аналогично его частные производные, если они существуют:

Для тензора, зависящего от одной или нескольких действительных переменных, можно дать аналогичные определения. Пусть, например, задан тензор его частная производная по , если она существует в некоторой области плоскости есть предел

тензора

при Эта частная производная будет также тензором с компонентами

Понятия сходимости последовательности и ряда немедленно обобщаются на последовательности и ряды тензоров.

Имеет место формула Тейлора, которую мы напомним только для случая вектора допустим, что имеет непрерывные производные до порядка в интервале, заключающем и что производная существует; тогда в этом интервале

где обозначает вектор, стремящийся к нулю вместе с .

Можно также говорить об аналитических тензорах, зависящих от одного или нескольких параметров. Так, вектор называется аналитическим в окрестности если существует такое число что

где ряд в правой части сходится для

Что касается правил дифференцирования, относящихся к операциям над тензорами, то мы прежде всего сделаем следующее общее замечание. Пусть, например, тензор-функция как от так и от , т. е. выполняются соотношения

и аналогичные соотношения по . Допустим, что будут, например, функциями действительной переменной и в некотором интервале, где и имеют производные. Будем искать производную сложной функции Имеем

переходя к пределу, получаем отсюда формулу

аналогичную формуле для производной от произведения.

Можно ее обобщить на случай линейных функций более двух аргументов и на случай нескольких переменных для частных производных.

Рассматривая, например, вектор-функции одной действительной переменной в можно вывести отсюда такие формулы:

Относительно интегрирования (для определенности в смысле Римана) можно развить аналогичные соображения. Пусть, например» функции, интегрируемые в области А плоскости являющиеся компонентами тензора для всякой точки области А. Выражения

будут компонентами тензора Но если например, есть внешнее произведение вида то тензор

не обязательно будет внешним произведением.

Формулы интегрирования по частям приводят к равенствам вида

где линейно по

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)