3. Конгруэнции прямых.

Мы обратимся теперь к изучению множеств прямых зависящих от двух параметров; ориентируем эти прямые, или лучи, рассматривая на каждой из них единичный вектор тогда конгруэнция определяется заданием или еще одного вектора или направляющей поверхности (или кривой, или точки). Если провести через начало О единичный вектор, параллельный вектору то его конец может быть неподвижным (вектор не зависит существенно ни от какого параметра) или же описывать кривую на сфере . В первом случае речь идет о конгруэнции прямых, параллельных фиксированному направлению, во втором имеются в виду конгруэнции образующих однопараметрического семейства цилиндров, или цилиндрические конгруэнции. Мы исключим оба эти случая из наших рассмотрений.

Мы возьмем, следовательно, конгруэнцию, сферическое изображение которой содержит целую окрестность сферы такую, что всякой точке этой окрестности соответствует одна и только одна прямая конгруэнции.

Триэдры нулевого порядка, присоединенные к лучу конгруэнции, определяются так же, как для линейчатой поверхности; возвращаясь к формулам (I, 1.1, 1.2 и 1.3), мы найдем две независимые формы и , и для других главных компонент можно написать

где скалярные коэффициенты; имеются две вторичные компоненты

При помощи внешнего дифференцирования из формул получаем

Выражения в квадратных скобках являются комбинациями форм они обращаются в нуль при вариации только вторичных параметров, и мы имеем

С помощью линейных комбинаций непосредственно получаем

Из первого из этих соотношений вытекает, что может принимать любое значение при вариации вторичных параметров; мы можем, следовательно, нормировать триэдр таким образом, чтобы Второе соотношение показывает, что инвариант. Если положить то последнее соотношение запишется так:

В плоскости в прямоугольных координатах уравнение представляет окружность, и группа, порожденная формой будет группой вращений около ее центра. Можно выбрать остающийся вторичный параметр так, чтобы а будут тогда инвариантами: это будет триэдр первого порядка, который мы примем в качестве триэдра Френе. Этот триэдр будет, вообще говоря, единственным, так как уравнения (3.3) дают теперь кроме случая когда тогда находится только и приведение может продолжаться; мы его проведем ниже , а теперь будем рассматривать общий случай.

Формы в этом случае являются инвариантными линейными формами; удобно, как мы скоро убедимся, написать

Уравнения (3.2) дают тогда для форм выражения вида

условия интегрируемости, если ввести инвариантные производные, записываются так:

Формулы перемещений триэдра имеют вид

вершина триэдра, присоединенного к лучу конгруэнции, называется средней точкой этого луча; геометрическое место таких точек образует среднюю поверхность конгруэнции (она может сводиться к прямой или даже к точке).

Мы предоставляем читателю сформулировать теоремы существования и единственности.