10. Симплексы. Комплексы.

Точки пространства называются линейно независимыми, если они не содержатся ни в каком линейном многообразии размерности Они определяют в этом случае линейное многообразие I измерений.

Множество точек определяемых уравнениями

называется симплексом I измерений, или -мерным симплексом, определенным этими линейно независимыми точками (это понятие является обобщением понятия тетраэдра, треугольника, сегмента прямой). Гранью размерности симплекса называется всякий симплекс определенный точками из тех точек, которые определяют Грани размерности 1 называются также ребрами; грани размерности нуль (иначе говоря, точки определяющие называются также вершинами симплекса.

Два симплекса одной и той же размерности гомеоморфны. Вообще, топологическим симплексом (или просто симплексом) называется гомеоморфный образ симплекса в топологическом пространстве.

Рассмотрим в пространстве два симплекса полученные из симплексов и Тггь пространства гомеоморфными преобразованиями Точке соответствуют две точки из Говорят, что симплексы и равны, если выполнены одновременно два следующих условия:

1° , рассматриваемые как множества точек совпадают.

2° Соответствие между есть линейное преобразование, т. е. координаты точки получаются из координат точки по формулам

Условившись об этом, мы назовем комплексом размерности топологическое пространство, которое может быть разбито следующим образом:

1° К есть объединение конечного или счетного множества топологических образов симплексов различных размерностей от нуля до причем существует по крайней мере один симплекс размерности

2° Всякая точка принадлежит по крайней мере одному симтлексу и не принадлежит более чем. конечному числу симплексов.

3° Для любых двух симплексов верно следующее: или они не имеют общих точек, или один из них есть грань другого, и тогда симплексы называются инцидентными, или же они имеют общую грань, причем два симплекса, составляющих эту общую грань, равны.

4° Открытое множество содержит вместе с точкой объединение окрестностей точки всех симплексах, которым принадлежит.

Такое разбиение комплекса называется симплициальным.

Сегмент сфера измерений шар открытый (или замкнутый) являются комплексами (рис. 2). Само пространство как объединение бесчисленного множества кубов есть комплекс.

Комплекс всегда локально компактен. Конечный комплекс (объединение конечного числа симплексов) компактное пространство; бесконечный комплекс не компактен, так как множество центров тяжести всех его симплексов не имеет предельной точки [центр тяжести V симплекса, определенного в (10.1), есть точка, определяемая равенствами ].

В комплексе рассмотрим симплекс и множество всех симплексов которые могут быть соединены с конечной цепью симплексов

такой, что два последовательных симплекса этой цепи инцидентны.

Рис. 2.

Объединение этих симплексов вместе с образует открытое множество в так как, очевидно, оно содержит вместе с каждой точкой и ее окрестность: дополнение к этому множеству также открыто по аналогичной причине; итак, рассматриваемое множество одновременно открыто и замкнуто. Отсюда вытекает, что в связном комплексе два любых симплекса можно соединить цепью вида (10.2).

Комплекс называется чистым (размерностно-однородным), если всякий его симплекс размерности является гранью по крайней мере одного симплекса размерности это понятие топологически инвариантно. Наконец, комплекс однороден, если любая его точка имеет окрестность, гомеоморфную шару или внутренности симплекса что одно и то же, как легко видеть.

Однородный связный комплекс мы назовем многообразием.