6. Соприкасающаяся плоскость и соприкасающаяся полуплоскость кривой в пространстве E3. Вогнутость.
На кривой пространства 
точка 
будет называться обыкновенной второго порядка, если она является такой с точки зрения прямой геометрии и, кроме того, неимеет стационарной касательной, что записывается в допустимой параметризации так:
Рассмотрим три точки 
близкие к такой точке 
Плоскость, проходящая через эти три точки, определяется решением однородной системы
Допустим, что 
Вычтем в атой системе первое уравнение из второго, второе из третьего и применим оба раза теорему о конечном приращении. Мы получим два уравнения, которые могут заменить два последних уравнения системы (6.2):
Вычитая второе из этих уравнений из первого, мы получаем тем же путем уравнение
которое может заменить второе из предыдущих уравнений. Окончательно 
уравнение плоскости может быть записано в виде
В силу непрерывности левая часть этого уравнения не обращается в нуль тождественно, если 
достаточно близки к 
Когда эти три точки стремятся к 
мы видим, что плоскость имеет предел, называемый соприкасающейся плоскостью кривой в точке 
Уравнение ее имеет вид
Мы напишем это уравнение в следующей форме, где значение параметра не уточнено:
Обозначив текущую точку через 
можно записать это уравнение 
векторной форме:
В случае плоской кривой соприкасающаяся плоскость в любой из ее точек будет плоскостью кривой.
Процессом, аналогичным проведенному здесь, можно показать, что соприкасающуюся плоскость в точке 
можно определить и как предел плоскости, проходящей через касательную в 
и через близкую точку, а также как предел плоскости, параллельной касательной в близкой точке, или как предел плоскости, проходящей через 
и касательную в близкой точке.
Как и в случае касательной, можно при некоторых условиях обобщить понятие соприкасающейся плоскости на некоторые случаи точек, не являющихся обыкновенными точками; мы не будем останавливаться на этих обобщениях.
Сделаем теперь замену параметра: 
Мы получим
Последнее уравнение показывает нам, в силу наличия положительного множителя 
перед 
что полуплоскость, называемая соприкасающейся полуплоскостью в рассматриваемой точке:
(
действительные параметры, X произвольно 
), не зависит от параметризации. Посмотрим, в чем заключается геометрический смысл этого явления.
Дадим и приращение 
; точка 
перейдет в 
и мы будем иметь
где 
обозначает вектор, стремящийся к нулю вместе с 
Рассмотрим теперь произвольную плоскость, проходящую через касательную и отличную от соприкасающейся плоскости, определенную вектором 
и вектором А. Ее уравнение имеет вид
Заменяя 
на 
имеем
Это смешанное произведение имеет тот же знак, что и
или тот же знак, что и
для 
если 
достаточно мало. Другими словами, точки кривой, достаточно близкие к 
находятся в том же полупространстве, что и соприкасающаяся полуплоскость по отношению к заданной плоскости.
Это значит, что если мы рассмотрим две полуплоскости, проходящие через касательную и образующие как угодно малый двугранный угол, содержащий внутри соприкасающуюся полуплоскость, то все точки кривой, достаточно близкие к 
лежат внутри этого двугранного угла. Поэтому говорят, что вогнутость кривой в точке 
направлена внутрь соприкасающейся полуплоскости.
Пусть кривая имеет в 
обыкновенную точку порядка 3 в смысле прямой геометрии, причем ее параметризация является допустимой; мы скажем, что эта точка является обыкновенной порядка 3 в эвклидовой геометрии, если соприкасающаяся плоскость в этой точке не стационарна, т. е.
В эвклидовой геометрии точка называется обыкновенной порядка 
если она обыкновенная порядка 
смысле прямой геометрии и обыкновенная порядка 3 в эвклидовом смысле. В этой геометрии всякое дальнейшее различение становится излишним.
УПРАЖНЕНИЯ
(см. скан)
