6. Тождества Бианки.

Посредством внешнего дифференцирования формулы (4.4) дают

(т. к. дифференциал первого члена равен нулю) или, заменяя их значением, взятым из (4.4),

Члены, содержащие только уничтожаются, и остается

это сжатая форма тождеств Бианки.

Для уравнения (4.4) и (4.5) дают

Мы видим, что члены, не содержащие представляют собой

поэтому предыдущее равенство записывается в форме

Собирая члены, получающиеся с помощью перестановки индексов по предположению различных, и принимая во внимание свойства антисимметрии тензоров и тензорного произведения, мы получаем, что

Поступая таким же образом при находим

откуда, как и выше,

Соотношения (6.2) и (6.3) называются тождествами Бианка. Верные для различных они верны и для произвольных в силу антисимметрии и по

Частный случай, когда тензор кручения тождественно равен нулю, заслуживает специального упоминания. Формы тогда так же тождественно равны нулю, первая из формул (4.1) показывает, что бесконечно малые циклы замыкаются с точечной точки зрения с точностью до бесконечно малых третьего порядка, но репер, связанный с началом цикла, не возвращается в свое исходное положение. В этом случае формулы Бианки упрощаются и принимают вид

причем последнее соотношение выражает круговую симметрию компонент тензора кривизны.